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parallèlement aux axes coordonnés, seront déterminés par trois équations de la forme

(1)

$\operatorname {D} _{t}^{2}\xi ={\mathfrak {X}},\quad \operatorname {D} _{t}^{2}\eta ={\mathfrak {Y}},\quad \operatorname {D} _{t}^{2}\zeta ={\mathfrak {Z}},$

${\mathfrak {X,Y,Z}},$ étant des fonctions linéaires homogènes des inconnues $\xi ,\eta ,\zeta ,$ et des dérivées de divers ordres de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ différentiés par rapport à $x,y,z.$ Ajoutons que, si le premier système est à l’état d’isolement, les coefficients des inconnues et de leurs dérivées pourront se réduire à des quantités constantes c’est-à-dire indépendantes de $x,y,z\,;$ et que, dans le cas contraire, pour obtenir des valeurs très-approchées des inconnues, il suffira souvent d’intégrer, à la place des équations (1), d’autres équations linéaires qui seront de même forme, et à coefficients constants.

Cela posé, concevons que les quantités ${\mathfrak {X,Y,Z}},$ se réduisent effectivement à des fonctions linéaires de $\xi ,\eta ,\zeta ,$ qui soient en même temps des fonctions symboliques entières de $\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z},$ les divers coefficients étant des quantités constantes, c’est-à-dire indépendantes de $x,y,z.$ Pour déterminer les formes particulières que pourront prendre les fonctions ${\mathfrak {X,Y,Z}},$ quand les équations (I) deviendront isotropes, on devra commencer par substituer aux trois formules (1) une équation unique, qui détermine, non plus les dérivées secondes

$\operatorname {D} _{t}^{2}\xi ,\qquad \operatorname {D} _{t}^{2}\eta ,\qquad \operatorname {D} _{t}^{2}\zeta$

des déplacements $\xi ,\eta ,\zeta ,$ de l’atome ${\mathfrak {m}},$ mesurés parallèlement aux axes des $x,y,z,$ mais la dérivée seconde

$\operatorname {D} _{t}^{2}{\text{ȣ}}$

d’un déplacement ȣ mesuré parallèlement à une direction quelconque. En supposant que cette direction soit celle d’un rayon vecteur, équivalant à l’unité de longueur, et mené de