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la fonction symbolique $\omega$ devra, dans l’hypothèse admise, être de la forme indiquée par l’équation

(25)

${\begin{aligned}\omega &=\mathrm {E} (a\xi +b\eta +c\zeta )\\&+\operatorname {F} (a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+c\operatorname {D} _{z})(\operatorname {D} _{x}\xi +\operatorname {D} _{y}\eta +\operatorname {D} _{z}\zeta )\\&+\operatorname {K} \left[a(\operatorname {D} _{z}\eta -\operatorname {D} _{y}\zeta )+b(\operatorname {D} _{x}\zeta -\operatorname {D} _{z}\xi )+c(\operatorname {D} _{y}\xi -\operatorname {D} _{x}\eta )\right].\end{aligned}}$

$\mathrm {E,F,K}$ désignant trois fonctions entières du trinôme

$\operatorname {D} _{x}^{2}+\operatorname {D} _{y}^{2}+\operatorname {D} _{z}^{2}.$

Il est, au reste, facile de s’assurer à posteriori que la valeur de $\Omega ,$ déterminée par l’équation (25), est toujours une fonction isotrope des coordonnées

$a,\ b,\ c\,;\ x,\ y,z\,;\ \xi ,\ \eta ,\ \zeta$

du point fixe $\mathrm {R}$ et des points mobiles $\mathrm {P,Q} .$ En effet, des équations (4) jointes aux formules (9) du paragraphe 2, on tire

(26)

$x=\mathrm {\alpha x+\alpha 'y+\alpha ''z} ,\quad y=\mathrm {\beta x+\beta 'y+\beta ''z} ,\quad z=\mathrm {\gamma x+\gamma 'y+\gamma ''z} ,$

par conséquent

(27)

$\operatorname {D} _{x}=\alpha \operatorname {D} _{x}+\beta \operatorname {D} _{y}+\gamma \operatorname {D} _{z},\quad \operatorname {D} _{y}=\alpha '\operatorname {D} _{x}+\beta '\operatorname {D} _{y}+\gamma '\operatorname {D} _{z},\quad \operatorname {D} _{z}=\alpha ''\operatorname {D} _{x}+\beta ''\operatorname {D} _{y}+\gamma ''\operatorname {D} _{z}.$

D'ailleurs, des formules (27), jointes aux équations (5), (6) et aux formules (12) et (15) du § 2, on tirera non-seulement

${\begin{alignedat}{2}&(28)&a{\overline {\xi }}+b{\overline {\eta }}+c{\overline {\zeta }}=&a\xi +b\eta +c\zeta ,\\&(29)\qquad \qquad \qquad &\operatorname {D} _{\mathrm {x} }^{2}+\operatorname {D} _{\mathrm {y} }^{2}+\operatorname {D} _{\mathrm {z} }^{2}=&\operatorname {D} _{x}^{2}+\operatorname {D} _{y}^{2}+\operatorname {D} _{z}^{2},\end{alignedat}}$

mais encore

$\mathrm {a\operatorname {D} _{\mathrm {x} }+b\operatorname {D} _{\mathrm {y} }+c\operatorname {D} _{\mathrm {z} }} =a\operatorname {D} _{x}+b\operatorname {D} _{y}+c\operatorname {D} _{z}$

$\operatorname {D} _{\mathrm {x} }{\overline {\xi }}+\operatorname {D} _{\mathrm {y} }{\overline {\eta }}+\operatorname {D} _{\mathrm {z} }{\overline {\zeta }}=\operatorname {D} _{x}\xi +\operatorname {D} _{y}\eta +\operatorname {D} _{z}\zeta ,$

par conséquent