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et par suite, dans la valeur de $\omega$ déterminée par la formule (1), on pourra substituer aux lettres caractéristiques $\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z},$ les quantités $u,v,w.$ En conséquence, on aura, dans l’hypothèse admise,

(11)

$\omega =\operatorname {f} (a,b,c,u,v,w,\xi ,\eta ,\zeta ),$

ou, ce qui revient au même,

(12)

$\omega =\operatorname {f} (a,b,c,u,v,w,A\varkappa ,B\varkappa ,C\varkappa ).$

D'autre part, si la fonction $\omega$ est isotrope, l’équation (3) sera identique, et ne cessera pas de l’être quand on attribuera aux coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta$ du point $\mathrm {Q}$ les valeurs particulières que fournissent les équations (7). Mais alors ${\overline {\omega }}$ sera précisément ce que devient la valeur de $\omega$ déterminée par l’équation (12) quand on substitue aux coordonnées primitives

$a,\ \ b,\ \ c\,;\ \ u,\ \ v,\ \ w\,;\ \ A,\ \ B,\ \ C\,;\ \ x,\ \ y,\ \ z$

des trois points nxes $\mathrm {R,S,T} ,$ et du point mobile $\mathrm {P} ,$ les coordonnées

$\mathrm {a,\ \ b,\ \ c\,;\ \ u,\ \ v,\ \ w\,;\ \ A,\ \ B,\ \ C\,;\ \ x,\ \ y,\ \ z}$

de ces mêmes points, mesurées parallèlement aux directions nouvelles que prennent les axes des $x,y,z,$ en vertu de leurs déplacements. En effet, les nouvelles coordonnées étant liées aux coordonnées primitives par les formules

(13)

$\left\{{\begin{alignedat}{9}\mathrm {a} =&\alpha a&&+\beta b&&+\gamma c,\quad &\mathrm {b} =&\alpha 'a&&+\beta 'b&&+\gamma 'c,\quad &\mathrm {c} =&\alpha ''a&&+\beta ''b&&+\gamma ''c,\\\mathrm {u} =&\alpha u&&+\beta v&&+\gamma w,\quad &\mathrm {v} =&\alpha 'u&&+\beta 'v&&+\gamma 'w,\quad &\mathrm {w} =&\alpha ''u&&+\beta ''v&&+\gamma ''w,\\\mathrm {A} =&\alpha A&&+\beta B&&+\gamma C,\quad &\mathrm {B} =&\alpha 'A&&+\beta 'B&&+\gamma 'C,\quad &\mathrm {C} =&\alpha ''A&&+\beta ''B&&+\gamma ''C,\end{alignedat}}\right.$

et la fonction $ux+vy+wz$ étant isotrope, on aura, non-seulement

(14)

$ux+vy+wz=\mathrm {ux+vy+wz} ,$