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devra être une équation identique. D'ailleurs les coordonnées nouvelles des points \mathrm{P,Q,R} seront liées à leurs coordonnées primitives par des équations semblables aux formules (2) du § 2, en sorte qu'on aura

${\begin{alignedat}{12}(4)\quad &\mathrm {x} &&=\alpha x&&+\beta y&&+\gamma z,&\quad \mathrm {y} &&=\alpha 'x&&+\beta 'y&&+\gamma 'z,\quad &\mathrm {z} &&=\alpha ''x&&+\beta ''y&&+\gamma ''z,\\(5)\quad &{\overline {\xi }}&&=\alpha \xi &&+\beta \eta &&+\gamma \zeta ,&{\overline {\eta }}&&=\alpha '\xi &&+\beta '\eta &&+\gamma '\zeta ,\quad &{\overline {\zeta }}&&=\alpha ''\xi &&+\beta ''\eta &&+\gamma ''\zeta ,\\(6)\quad &\mathrm {a} &&=\alpha a&&+\beta b&&+\gamma c,&\mathrm {b} &&=\alpha 'a&&+\beta 'b&&+\gamma 'c,\quad &\mathrm {c} &&=\alpha ''a&&+\beta ''b&&+\gamma ''c,\end{alignedat}}$

les coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ $\alpha ',\beta ',\gamma ',$ $\alpha '',\beta '',\gamma ''$ pouvant être réduits à trois, ou exprimés en fonction de trois angles polaires $\varphi ,\chi ,\psi$ en vertu des formules (7) du paragraphe 2; et c’est, eu égard à ces dernières formules et à la réduction dont il s’agit que l’équation (3) devra être identique. En d’autres termes, si la fonction $\omega$ est isotrope, l’équation (3) devra subsister, quelles que soient les valeurs attribuées aux trois angles polaires $\varphi ,\chi ,\psi .$

Supposons maintenant que les coordonnées $\xi ,\eta ,\zeta$ du point $\mathrm {Q}$ soient liées aux coordonnées $x,y,z$ du point $\mathrm {P}$ par des équations de la forme

(7)

$\xi =Ae^{ux+vy+wz},\quad \eta =Be^{ux+vy+wz},\quad \zeta =Ce^{ux+vy+wz},$

$u,v,w,$ et $A,B,C,$ étant les coordonnées rectangulaires de deux points fixes $\mathrm {S,T} .$ Si l’on pose, pour abréger,

(8)

$\varkappa =e^{ux+vy+wz},$

on aura, non-seulement

(9)

$\operatorname {D} _{x}\varkappa =u\varkappa ,\quad \operatorname {D} _{y}\varkappa =v\varkappa ,\quad \operatorname {D} _{z}\varkappa =w\varkappa ,$

mais encore

(10)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\operatorname {D} _{x}\xi =&u\xi ,\qquad &\operatorname {D} _{y}\xi =&v\xi ,\qquad &\operatorname {D} _{z}\xi =&w\xi ,\\\operatorname {D} _{x}\eta =&u\eta ,&\operatorname {D} _{y}\eta =&v\eta ,&\operatorname {D} _{z}\eta =&w\eta ,\\\operatorname {D} _{x}\zeta =&u\zeta ,&\operatorname {D} _{y}\zeta =&v\zeta ,&\operatorname {D} _{z}\zeta =&w\zeta \,;\end{alignedat}}\right.$