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déterminé par une équation de la forme

(4)

$\omega =\mathrm {P\varsigma +Q\varsigma _{_{'}}\varsigma _{_{''}}+R\tau } ,$

$\mathrm {P,Q,R}$ étant indépendants de $x_{_{'}},y_{_{'}},z_{_{'}}\,;$ $x_{_{''}},y_{_{''}},z_{_{''}}.$ Mais parmi les quantités

$\rho ,\ \rho _{_{'}},\ \rho _{_{''}}\,;\quad \varsigma ,\ \varsigma _{_{'}},\ \varsigma _{_{''}}\,;\quad \tau$

dont $\omega$ doit être fonction, une seule, savoir $\rho ,$ est indépendante de $x_{_{'}},y_{_{'}},z_{_{'}}\,;$ $x_{_{''}},y_{_{''}},z_{_{''}}.$ Donc, dans la formule (4), les facteurs $\mathrm {P,Q,R}$ doivent se réduire à des fonctions de $\rho \,;$ et l’on doit avoir

(5)

$\omega =\varsigma \varphi (\rho )+\varsigma _{_{'}}\varsigma _{_{''}}\chi (\rho )+\tau \psi (\rho ),$

$\varphi (\rho ),\,\chi (\rho ),\,\psi (\rho )$ étant des fonctions de la seule quantité $\rho ,$ ou, ce qui revient au même,

(6)

$\omega =\varsigma \varphi (r^{2})+\varsigma _{_{'}}\varsigma _{_{''}}\chi (r^{2})+\tau \psi (r^{2}).$

En d’autres termes, dans l’hypothèse admise, la fonction $\omega$ sera de la forme

(7)

${\begin{aligned}\omega &=\left(x_{_{'}}x_{_{''}}+y_{_{'}}y_{_{''}}+z_{_{'}}z_{_{''}}\right)\varphi (r^{2})\\&+\left(xx_{_{'}}+yy_{_{'}}+zz_{_{'}}\right)\left(xx_{_{''}}+yy_{_{''}}+zz_{_{''}}\right)\chi (r^{2})\\&+\left(xy_{_{'}}z_{_{''}}-xy_{_{''}}z_{_{'}}+x_{_{'}}y_{_{''}}z-x_{_{'}}yz_{_{''}}+x_{_{''}}yz_{_{'}}-x_{_{''}}y_{_{'}}z\right)\psi (r^{2}).\end{aligned}}$

§ 4. Sur les fonctions isotropes et symboliques des coordonnées
rectilignes de divers points.

Nous appellerons fonction symbolique de diverses variables une fonction qui renfermera, non-seulement ces variables mais encore des lettres symboliques indiquant des dérivées prises par rapport à quelques-unes de ces variables.

Une fonction symbolique qui dépendra uniquement des coordonnées rectilignes de divers points sera isotrope, si on