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$\alpha ',\beta ',\gamma '\,;\ \alpha '',\beta '',\gamma ''$ fournies par les équations (7) satisfont effectivement aux conditions (9) et (12). Ajoutons que les trois dernières des formules (9), jointes à l’équation (12), donneront

(13)

${\frac {\alpha }{\beta '\gamma ''-\beta ''\gamma '}}={\frac {\alpha '}{\beta ''\gamma -\beta \gamma ''}}={\frac {\alpha ''}{\beta \gamma '-\beta '\gamma }}={\frac {\alpha ^{2}+\alpha ^{'2}+\alpha ^{''2}}{1}}=1,$

etc.,

ou, ce qui revient au même,

(14)

$\left\{{\begin{alignedat}{9}&\alpha &&=\beta '\gamma ''&&-\beta ''\gamma ',&&\beta &&=\gamma '\alpha ''&&-\gamma ''\alpha ',&&\gamma &&=\alpha '\beta ''&&-\alpha ''\beta ',\\&\alpha '&&=\beta ''\gamma &&-\beta \gamma '',&&\beta '&&=\gamma ''\alpha &&-\gamma \alpha '',&&\gamma '&&=\alpha ''\beta &&-\alpha \beta '',\\&\alpha ''&&=\beta \gamma '&&-\beta '\gamma ,\qquad &&\beta ''&&=\gamma \alpha '&&-\gamma '\alpha ,\qquad &&\gamma ''&&=\alpha \beta '&&-\alpha '\beta .\end{alignedat}}\right.$

Il est bon d’observer que des formules (14), jointes à l’équation (12), on tirera immédiatement

(15)

$\left\{{\begin{aligned}&\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,\quad \alpha ^{'2}+\beta ^{'2}+\gamma ^{'2}=1,\quad \alpha ^{''2}+\beta ^{''2}+\gamma ^{''2}=1,\\&\alpha '\alpha ''+\beta '\beta ''+\gamma '\gamma ''=0,\quad \alpha ''\alpha +\beta ''\beta +\gamma ''\gamma =0,\quad \alpha \alpha '+\beta \beta '+\gamma \gamma '=0.\end{aligned}}\right.$

On pourra de ces diverses formules déduire les valeurs de six des coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,w'a,\beta ',\gamma ',\alpha '',\beta '',\gamma ''$ exprimées en fonction des trois autres. Ainsi, par exemple, après avoir choisi arbitrairement les valeurs de $\alpha ,\beta ,\alpha ',$ on pourra déduire $\gamma$ et $\alpha ''$ des deux équations

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1,\qquad \alpha ^{2}+\alpha ^{'2}+\alpha ^{''2}=1,$

auxquelles on satisfait en prenant

(16)

$\gamma =\pm {\sqrt {1-\alpha ^{2}-\beta ^{2}}},\qquad \alpha ''=\pm {\sqrt {1-\alpha ^{2}-\alpha ^{'2}}},$

puis $\beta '$ et $\gamma '$ des deux équations

$\beta \beta '+\gamma \gamma ''=-\alpha \alpha ',\qquad \beta \gamma '-\beta '\gamma =\alpha '',$

auxquelles on satisfait en prenant

(17)

$\beta '=-{\frac {\alpha \alpha '\beta +\alpha ''\gamma }{1-\alpha ^{2}}},\qquad \gamma '=-{\frac {\alpha \alpha '\gamma -\alpha ''\beta }{1-\alpha ^{2}}},$

puis enfin, $\beta ''$ et $\gamma ''$ des formules

(18)

$\beta ''=\gamma \alpha '-\gamma '\alpha ,\qquad \gamma ''=\alpha \beta '-\alpha '\beta .$

Cela posé, en admettant, comme ci-dessus, que la fonction $\operatorname {f} (x,y,z,x_{_{'}},y_{_{'}},z_{_{'}},\ldots )$ soit isotrope, l’équation (5) devra évi-