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(7)

\left\{{\begin{alignedat}{3}&\alpha &&=\cos \varphi &&\beta &&=\sin \varphi \cos \chi ,\\&&&&&\gamma &&=\sin \varphi \sin \chi ,\\&\alpha '&&=\sin \varphi \cos \psi ,&&\beta '&&=-\sin \chi \sin \psi -\cos \varphi \cos \chi \cos \psi ,\\&&&&&\gamma '&&=\cos \chi \sin \psi -\cos \varphi \sin \chi \cos \psi ,\\&\alpha ''&&=\sin \varphi \sin \psi ,\qquad &&\beta ''&&=\sin \chi \cos \psi -\cos \varphi \cos \chi \sin \psi ,\\&&&&&\gamma ''&&=-\cos \chi \cos \psi -\cos \varphi \sin \chi \sin \psi .\end{alignedat}}\right.

Donc la formule (6) ou (5) devra se transformer en une équation identique, lorsqu'en prenant pour $\operatorname {f} (x,y,z),$ ou pour $\operatorname {f} (x,y,z,x_{_{'}},y_{_{'}},z_{_{'}},\ldots )$ une fonction isotrope, on supposera les coefficients $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha ',\beta ',\gamma ',\alpha '',\beta '',\gamma ''$ déterminés par les équations (7). Par conséquent, l’équation (6) deviendra identique, lorsqu'on réduira $\operatorname {f} (x,y,z),$ à la fonction isotrope $x^{2}+y^{2}+z^{2}.$ On aura donc identiquement, quels que soient d’ailleurs $x,y,z,$

(8)

(\alpha x+\beta y+\gamma z)^{2}+(\alpha 'x+\beta 'y+\gamma 'z)^{2}+(\alpha ''x+\beta ''y+\gamma ''z)^{2}

=x^{2}+y^{2}+z^{2},

et, par suite,

(9)

\left\{{\begin{aligned}&\alpha ^{2}+\alpha ^{'2}+\alpha ^{''2}=1,\quad \beta ^{2}+\beta ^{'2}+\beta ^{''2}=1,\quad \gamma ^{2}+\gamma ^{'2}+\gamma ^{''2}=1,\\&\beta \gamma +\beta '\gamma '+\beta ''\gamma ''=0,\quad \gamma \alpha +\gamma '\alpha '+\gamma ''\alpha ''=0,\quad \alpha \beta +\alpha '\beta '+\alpha ''\beta ''=0.\end{aligned}}\right.

Pareillement, l’équation (5) deviendra identique, lorsqu'ou prendra pour $\operatorname {f} (x,\,y,\,z,\ \ x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}},\ \ x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}})$ la fonction isotrope