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du point $\mathrm {P} ,$ par celles du point $\mathrm {P} _{_{'}}$, ou $\mathrm {P} _{_{''}},$ etc.; et ces neuf coefficients pourront être réduits à des fonctions déterminées de trois angles polaires, par exemple, de l’angle \varphi que formera le demi-axe des $x$ positives avec le demi-axe des $x$ positives, et des angles $\chi ,\psi$ que formera le plan mené par ces deux demi-axes avec les plans des $x,y$ et des $\mathrm {x,y} .$ Cela posé, si $\omega$ est une fonction isotrope des coordonnées rectilignes des points $\mathrm {P,\,P_{_{'}},\,P_{_{''}}} ,\ldots$ l’équation (1) entraînera la suivante

(3)

$\omega =\operatorname {f} \mathrm {\left(x,\,y,\,z\,;\ \ x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;\ \ x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}},\ldots \right)} ,$

et, par suite, en supposant les valeurs de $x,\,y,\,z\,;$ $x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;$ $x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}}\,;$ etc., déterminées par les équations (2), on aura identiquement

(4)

$\operatorname {f} \mathrm {\left(x,\,y,\,z\,;\ \ x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}},\ldots \right)} =\operatorname {f} \left(x,\,y,\,z\,;\ \ x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}},\ldots \right).$

En d’autres termes, on aura

(5)

$\left\{{\begin{aligned}&\operatorname {f} \left(\alpha x+\beta y+\gamma z,\ \alpha 'x+\beta 'y+\gamma 'z,\ \alpha ''x+\beta ''y+\gamma ''z,\ \alpha x_{_{'}}+\beta y_{_{'}}+\gamma z_{_{'}},\ldots \right)\\&=\operatorname {f} \left(x,\,y,\,z\,;\ \ x_{_{'}},\ldots \right),\end{aligned}}\right.$

quelles que soient les valeurs attribuées aux trois angles polaires $\varphi ,\chi ,\psi .$

Si les points donnés se réduisent à un seul $\mathrm {P} ,$ la formule (5) deviendra

(6)

$\operatorname {f} \left(\alpha x+\beta y+\gamma z,\ \alpha 'x+\beta 'y+\gamma 'z,\ \alpha ''x+\beta ''y+\gamma ''z\right)=\operatorname {f} \left(x,\,y,\,z\right).$

Pour mieux fixer les idées, considérons en particulier le cas où les axes coordonnés sont rectangulaires. Dans ce cas, les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma ',$ $\alpha '',\,\beta '',\,\gamma '',$ pourront être exprimés en fonction des angles polaires $\varphi ,\chi ,\psi$ par des équations de la forme