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la fonction $\mathrm {K}$ soit isotrope, ou, en d’autres termes, pour que le moment d’inertie du système donné devienne indépendant de la direction de l’axe $\mathrm {OA} ,$ il suffira que les moments d’inertie du système autour de trois axes rectangulaires soient égaux entre eux.

§ 2. Sur les conditions analytiques auxquelles doit satisfaire une fonction isotrope des coordonnées rectilignes de divers points.

Soient

$x,\,y,\,z\,;\qquad x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;\qquad x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}},\ldots$

les coordonnées de divers points $\mathrm {P,P_{_{'}},P_{_{''}}} ,\ldots$ mesurées parallèlement à trois axes rectangulaires ou obliques ; et soit encore

(1)

$\omega =\operatorname {f} (x,\,y,\,z,\ \ x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}},\ \ x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}},\ldots )$

une fonction déterminée des coordonnées dont il s’agit. Soient enfin

$\mathrm {x,\,y,\,z\,;\qquad x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;\qquad x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}}} ,\ldots$

les valeurs nouvelles qu'acquerront les coordonnées des points $\mathrm {P,P_{_{'}},P_{_{''}}} ,\ldots$ lorsqu'on aura déplacé les axes coordonnés en leur imprimant un mouvement de rotation quelconque autour de l’origine $\mathrm {O} .$ Les nouvelles coordonnées $\mathrm {x,y,z}$ se trouveront liées aux coordonnées primitives $x,y,z$ par trois équations linéaires de la forme

(2)

$\mathrm {x} =\alpha x+\beta y+\gamma z,\quad \mathrm {y} =\alpha 'x+\beta 'y+\gamma 'z,\quad \mathrm {z} =\alpha ''x+\beta ''y+\gamma ''z,$

$\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,;$ $\alpha ',\,\beta ',\,\gamma '\,;$ $\alpha '',\,\beta '',\,\gamma '',$ étant neuf coefficients qui ne changeront pas de valeurs quand on remplacera les coordonnées