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seulement le demi-axe des $x$ positives avec la droite $\mathrm {OP} ,$ mais encore le demi-axe des $y$ positives avec la perpendiculaire élevée par le point $\mathrm {O}$ sur la droite $\mathrm {OP} ,$ dans le plan $\mathrm {OPP_{_{'}}} ,$ et du même côté que le point $\mathrm {P} _{_{'}}.$ Alors on aura non-seulementt

$y_{_{'}}'>0,\qquad z_{_{'}}=0,$

mais encore, en vertu des formules (5) et (2),

$\varsigma _{_{''}}=xx_{_{'}},\qquad \rho _{_{'}}=x_{_{'}}^{2}+y_{_{'}}^{2},$

et

$\varsigma _{_{'}}=x_{_{''}}x,\qquad \varsigma =x_{_{'}}x_{_{''}}+y_{_{'}}y_{_{''}},\qquad \tau =xy_{_{'}}z_{_{''}}\,;$

puis on en conclura

(10)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}&x_{_{'}}&&=\rho ^{-{\frac {1}{2}}}\varsigma _{_{''}},\qquad &&y_{_{'}}=\left(\rho _{_{'}}-\rho ^{-1}\varsigma _{_{''}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}},\qquad &&z_{_{'}}&&=0,\\&x_{_{''}}&&=\rho ^{-{\frac {1}{2}}}\varsigma _{_{'}},\qquad &&y_{_{''}}={\frac {\varsigma -\rho ^{-1}\varsigma _{_{'}}\varsigma _{_{''}}}{\left(\rho _{_{'}}-\rho ^{-1}\varsigma _{_{''}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}},\qquad &&z_{_{''}}&&={\frac {\rho ^{-{\frac {1}{2}}\tau }}{\left(\rho _{_{'}}-\rho ^{-1}\varsigma _{_{''}}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}.\end{alignedat}}\right.$

Or, en vertu des formules (8), (10), les coordonnées

$x,\,y,\,z\,;\qquad x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;\qquad x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}},$

se réduiront évidemment à des fonctions des six quantités :

$\rho ,\,\rho _{_{'}}\,;\qquad \varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}}\,;\quad \tau$

et l’on pourra en dire autant de la fonction

$\omega =\operatorname {f} (x,\,y,\,z,\ \ x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}},\ \ x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}}).$

Donc le deuxième théorème se trouvera encore vérifié, quand l’un des points $\mathrm {P_{_{'}},\,P_{_{''}}}$ sera situé hors de la droite $\mathrm {OP} \,;$ donc, il se vérifiera dans tous les cas possibles.

Il est bon d’observer qu'en vertu des formules (4) $\varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}}$ sont des fonctions entières de

$r,\,r_{_{'}},\,r_{_{''}}\,;\qquad \iota ,\,\iota _{_{'}},\,\iota _{_{''}}.$

Donc toute fonction des quantités

$\rho ,\,\rho _{_{'}},\,\rho _{_{''}}\,;\qquad \varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}}\,;\quad \tau ,$