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quelconque des sept quantités

$\rho ,\,\rho _{_{'}},\,\rho _{_{''}}\,;\qquad \varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}}\,;\quad \tau ,$

déterminées par les équations (5) et (2), et liées entre elles par la formule (6) qui permet d’éliminer de la fonction dont il s’agit l’une des trois quantités $\rho ,\,\rho _{_{'}},\,\rho _{_{''}}.$

Il y a plus ; la forme ici indiquée d’une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires de trois points est la plus générale possible, et l’on établira aisément la proposition suivante.

Deuxième théorème. Toute fonction isotrope des coordonnées rectangulaires

$x,\,y,\,z\,;\qquad x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;\qquad x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}},$

de trois points $\mathrm {P,P_{_{'}},P_{_{''}}} ,$ peut être réduite à une fonction des sept quantités

$\rho ,\,\rho _{_{'}},\,\rho _{_{''}}\,;\qquad \varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}}\,;\quad \tau ,$

déterminées par les équations (5) et (2), ou, ce qui revient au même, à une fonction de $\varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}},\ \tau ,$ et de deux des trois quantités $\rho ,\,\rho _{_{'}},\,\rho _{_{''}},$ liées à $\varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}},\ \tau$ par la formule (6).

Démonstration. En effet, soit

(7)

$\omega =\operatorname {f} (x,\,y,\,z,\ \ x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}},\ \ x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}})$

une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires

$x,\,y,\,z\,;\qquad x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;\qquad x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}}.$

La valeur de $\omega$ demeurant invariable, tandis que l’on imprimera aux axes coordonnés un mouvement de rotation quelconque autour de l’origine $\mathrm {O} ,$ il sera permis de concevoir qu'à l’aide d’un tel mouvement on a fait coïncider le demi-axe des $x$ positives avec la droite $\mathrm {OP}$ dirigée de $\mathrm {O}$