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Les quantités variables

$r,\,r_{_{'}},\,r_{_{''}}\,;\qquad \iota ,\,\iota _{_{'}},\,\iota _{_{''}},\quad \tau ,$

étant des fonctions isotropes des coordonnées des trois points $\mathrm {P,P_{_{'}},P_{_{''}}} ,$ on pourra en dire encore autant d’une fonction quelconque de ces mêmes quantités. Ajoutons que, si l’on pose pour abréger

(4)

$\left\{{\begin{alignedat}{6}&\rho &&=r^{2},&&\varsigma &&={\frac {r_{_{'}}^{2}+r_{_{''}}^{2}-\iota ^{2}}{2}}&&=r_{_{'}}r_{_{''}}&&\cos({\widehat {r_{_{'}},r_{_{''}}}}),\\&\rho _{_{'}}&&=r_{_{'}}^{2},&&\varsigma _{_{'}}&&={\frac {r_{_{''}}^{2}+r^{2}-\iota _{_{'}}^{2}}{2}}&&=r_{_{''}}r&&\cos({\widehat {r_{_{''}},r)}},\\&\rho _{_{''}}&&=r_{_{''}}^{2},\qquad &&\varsigma _{_{''}}&&={\frac {r^{2}+r_{_{'}}^{2}-\iota _{_{''}}^{2}}{2}}&&=rr_{_{'}}&&\cos({\widehat {r,r_{_{'}}}}),\end{alignedat}}\right.$

toute fonction des six quantités $r,\,r_{_{'}},\,r_{_{''}}\,;$ $\iota ,\,\iota _{_{'}},\,\iota _{_{''}}$ pourra être considérée comme une fonction des six quantités $\rho ,\rho _{_{'}\,},\,\rho _{_{''}},$ $\varsigma ,\,\varsigma _{_{'}},\,\varsigma _{_{''}},$ liées aux coordonnées $x,\,y,\,z\,;$ $x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;$ $x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}},$ par les formules

(5)

$\left\{{\begin{alignedat}{8}&\rho &&=x^{2}&+&y^{2}&+&z^{2},&&\varsigma &=&x_{_{'}}x_{_{''}}&+&y_{_{'}}y_{_{''}}&+&z_{_{'}}z_{_{''}},\\&\rho _{_{'}}&&=x_{_{'}}^{2}&+&y_{_{'}}^{2}&+&z_{_{'}}^{2},&&\varsigma _{_{'}}&=&x_{_{''}}x&+&y_{_{''}}y&+&z_{_{''}}z,\\&\rho _{_{''}}&&=x_{_{''}}^{2}&+&y_{_{''}}^{2}&+&z_{_{''}}^{2},\qquad &&\varsigma _{_{''}}&=&xx_{_{'}}&+&yy_{_{'}}&+&zz_{_{'}}\,;\end{alignedat}}\right.$

et que la quantité variable $\tau$ sera liée aux six quantité $\rho ,\rho _{_{'}},\rho _{_{''}}\,;$ $\varsigma ,\varsigma {_{'}},\varsigma {_{''}},$ par la formule

(6)

$\tau ^{2}=\rho \rho _{_{'}}\rho _{_{''}}-\rho \varsigma ^{2}-\rho _{_{'}}\varsigma _{_{'}}^{2}-\rho _{_{''}}\varsigma _{_{''}}^{2}+2\varsigma \varsigma _{_{'}}\varsigma _{_{''}}.$

En conséquence on peut énoncer la proposition suivante.

Premier théorème. Pour obtenir une fonction isotrope des coordonnées rectangulaires

$x,\,y,\,z\,;\qquad x_{_{'}},\,y_{_{'}},\,z_{_{'}}\,;\qquad x_{_{''}},\,y_{_{''}},\,z_{_{''}},$

de trois points $\mathrm {P,\,P_{_{'}},\,P_{_{''}}} ,$ il suffit de prendre une fonction