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Concevons que, $n$ étant un nombre entier quelconque, on néglige dans les seconds membres des formules (10) tous les termes qui renferment les quantités

$A_{n+1},\quad A_{n+2},\ldots \quad nA_{-(n+1)},\quad A_{-(n+2)},\ldots$

Alors on obtiendra $2n+1$ équations qui détermineront, avec l’inconnue $k,$ les rapports des inconnues

$A_{0}\,;\quad A_{1},\quad A_{2},\ldots \quad A_{n}\,;\quad A_{-1},\quad A_{-2},\ldots \quad A_{-n}.$

Toutefois les valeurs ainsi trouvées, pour ces rapports et pour la constante $k,$ seront seulement approximatives. Mais, si $n$ vient à croître indéfiniment, ces valeurs approximatives convergeront vers des limites qui seront les valeurs exactes de l’inconnue $k$ et de ces rapports.

Il est important d’observer que, le nombre entier $n$ venant à croître, le degré de l’équation en $k,$ toujours représenté par le nombre $2n+1,$ croîtra également. Mais, parmi les $2n+1$ racines de cette équation, l’on devra choisir évidemment celle qui aura pour valeur approchée $k_{0}.$ D'ailleurs à cette racine, prise pour valeur de $k,$ correspondra un système unique de valeurs des rapports

${\frac {A_{1}}{A_{0}}},\quad {\frac {A_{2}}{A_{0}}},\ldots \quad {\frac {A_{n}}{A_{0}}}\,;\quad {\frac {A_{-1}}{A_{0}}},\quad {\frac {A_{-2}}{A_{0}}},\ldots \quad {\frac {A_{-n}}{A_{0}}}.$

La méthode d’intégration que nous venons d’appliquer à l’équation (1) s’appliquerait pareillement à une équation de la forme

(13)

$\operatorname {D} _{t}^{2}{\text{ȣ}}=K\operatorname {D} _{x}^{2}{\text{ȣ}},$

$K$ étant toujours une fonction périodique de $x,$ et généralement aux systèmes d’équations linéaires à coefficients périodiques auxquels on se trouve conduit par les problèmes de mécanique ou de physique. Dans le cas où les coefficients pé-