Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/779

représentera, non-seulement ce que nous appelons une intégrale élémentaire de l’équation (3), mais encore une intégrale approchée de l’équation (1).

Si maintenant on veut obtenir, non plus une intégrale approchée, mais une intégrale exacte de l’équation (1), on pourra supposer la fonction ȣ développée aussi bien que la fonction $K$ en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l’exponentielle $e^{ax\mathrm {i} }.$ Faisons, en conséquence,

(6)

${\begin{aligned}{\text{ȣ}}={\text{ȣ}}_{0}&+{\text{ȣ}}_{1}e^{ax\mathrm {i} }+{\text{ȣ}}_{2}e^{2ax\mathrm {i} }+\ldots \\&+{\text{ȣ}}_{-1}e^{-ax\mathrm {i} }+{\text{ȣ}}_{-2}e^{-2ax\mathrm {i} }+\ldots \end{aligned}}$

L'équation (1) sera vérifiée si, après y avoir substitué les valeurs de $K$ et ȣ tirées des formules (2) et (6), on égale entre eux les coefficients des puissances semblables de l’exponentielle $e^{ax\mathrm {i} },$ renfermés dans les deux membres. On obtiendra ainsi les équations auxiliaires

(7)

$\left\{{\begin{aligned}&(\operatorname {D} _{t}-k_{0}\operatorname {D} _{x}){\text{ȣ}}_{0}=k_{-1}(\operatorname {D} _{x}+\alpha \mathrm {i} ){\text{ȣ}}_{1}+\ldots +k_{1}(\operatorname {D} _{x}-\alpha \mathrm {i} ){\text{ȣ}}_{-1}+\ldots \\&\left[\operatorname {D} _{t}-k_{0}(\operatorname {D} _{x}+\alpha \mathrm {i} )\right]{\text{ȣ}}_{1}=k_{-1}(\operatorname {D} _{x}+2\alpha \mathrm {i} ){\text{ȣ}}_{2}+\ldots +k_{1}\operatorname {D} _{x}{\text{ȣ}}_{0}+\ldots \\&{\text{etc}}\ldots \\&\left[\operatorname {D} _{t}-k_{0}(\operatorname {D} _{x}-\alpha \mathrm {i} )\right]{\text{ȣ}}_{-1}=k_{-1}\operatorname {D} _{x}{\text{ȣ}}_{0}+\ldots +k_{1}(\operatorname {D} _{x}-2\alpha \mathrm {i} ){\text{ȣ}}_{-2}+\ldots .\end{aligned}}\right.$

Or, ces équations, toutes linéaires et à coefficients constants, seront vérifiées, si l’on suppose les inconnues

${\text{ȣ}}_{0},\quad {\text{ȣ}}_{1},\quad {\text{ȣ}}_{2},\ldots \quad {\text{ȣ}}_{-1},\quad {\text{ȣ}}_{-2},\ldots$

toutes proportionnelles à une seule exponentielle caractéristique de la forme

$e^{ux+st},$

en sorte qu'on ait

(8)

${\text{ȣ}}_{0}=A_{0}e^{ux+st},\quad {\text{ȣ}}_{1}=A_{1}e^{ux+st},\ldots \quad {\text{ȣ}}_{-1}=A_{-1}e^{ux+st},\ldots$