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$K$ étant une fonction périodique de $x,$ qui ne soit pas altérée quand on fait croître ou décroître la variable $x,$ supposée réelle, d’un multiple du pararrtétre $a.$ Posons d’ailleurs

$\alpha ={\frac {2\pi }{a}}.$

Enfin, nommons $k_{0}$ la valeur moyenne de la fonction $K,$ en sorte qu'on ait

$k_{0}={\frac {1}{a}}\int _{0}^{a}Kdx,$

et soit pareillement $k_{n}$ la valeur moyenne du produit $Ke^{-n\alpha x\mathrm {i} },$ $n$ étant une quantité entière quelconque, positive ou négative. La formule

(2)

${\begin{aligned}K=k_{0}&+k_{1}e^{ax\mathrm {i} }+k_{2}e^{2ax\mathrm {i} }+\ldots \\&+k_{-1}e^{-ax\mathrm {i} }+k_{-2}e^{-2ax\mathrm {i} }+\ldots ,\end{aligned}}$

fournira le développement de la fonction $K$ en une série ordonnée suivant les puissances entières ascendantes et descendantes de l’exponentielle $e^{ax\mathrm {i} }.$ Si d’ailleurs la fonction $K$ diffère peu de sa valeur moyenne $k_{0},$ on pourra, dans une première approximation, réduire $K$ à $k_{0},$ et la formule (1) à l’équation

(3)

$\operatorname {D} _{t}{\text{ȣ}}=k_{0}\operatorname {D} _{x}{\text{ȣ}}.$

Or, cette dernière équation, linéaire et à coefficient constant, sera vérifiée. si l’on pose

(4)

${\text{ȣ}}=Ae^{ux+st},$

$u,s,A$ désignant trois constantes dont les deux premières soient liées entre elles par la formule

(5)

$s=k_{0}u\,;$

et la valeur, que l’équation (4) fournira pour l’inconnue ȣ,