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donnée suivant les puissances ascendantes et descendantes des exponentielles trigonométriques dont chacune a pour argument le produit d’une variable par le paramètre trigonométrique correspondant. Dans chaque terme de la série, le facteur constant est représenté par une intégrale définie multiple, les intégrations étant effectuées entre les limites $x=0,\ x=a\,;$ $y=0,\ y=b\,;$ $z=0,\ z=c\,;\ldots$ Le terme constant de la série est la valeur moyenne de la fonction entre ces limites. D'ailleurs, il est important d’observer que si une fonction périodique $u$ renferme avec les variables indépendantes $x,y,z,\ldots$ d’autres quantités $h,k,\ldots$ la valeur moyenne de $u,$ considérée comme fonction de $h,k,\ldots$ pourra changer de forme quand on changera les valeurs de $h,k$^[1].

Ces principes étant admis, concevons d’abord que, dans les équations linéaires données, les coefficients cessent d’ètrr périodiques et deviennent constants. Alors, on pourra satisfaire aux équations données en supposant les valeurs des diverses inconnues proportionnelles à une seule exponentielle dont l’exposant sera représenté par une fonction linéaire des variables indépendantes. Cette exponentielle, que j’appellerai l’exponentielle caractéristique, se trouvera d’ailleurs multipliée clans les diverses inconnues par des coeffi-

1. Ainsi, par exemple, la fonction périodique
   ${\frac {he^{\alpha x\mathrm {i} }}{k+he^{\alpha x\mathrm {i} }}}$

   a pour valeur moyenne zéro, ou l’unité, suivant que le module de $k$ est supérieur ou inférieur au module de $h.$