Les formules qui sont renfermées dans les §§ 5 6, 7, et qui se rapportent à l’intégration des équations linéaires sous des conditions données, ont été plus tard reproduites en partie, souvent démontrées d’une autre manière dans divers Mémoires, et spécialement dans celui qui a pour objet l’application du calcul des résidus aux questions de physique mathématique. Parmi ces formules, il en est quelques-unes qui, au premier abord, peuvent laisser au lecteur des doutes sur la question de savoir si elles s’accordent entre elles. Il est bon d’éclaircir cette difficulté, et de prouver en particulier que les résultats obtenus dans le § 6 s’accordent avec ceux que l’on a déduits de la formule (20) du § 7. On y parviendra de la manière suivante :
Je commencerai par observer que, dans la formule (20) du § 7, le signe du second membre doit être choisi, non pas arbitrairement, mais de manière à ce que la valeur de soit positive, et qu'en conséquence représente, comme il est dit à la page 121 la valeur numérique de correspondante à une racine réelle de l’équation
Il en résulte que si l’on pose
étant positif, on aura et que par suite l’équation (39) du § 7 entraînera la formule (43), entièrement semblable à la formule (131) du § 6.
Il reste à faire voir que l’équation (54) du § 7 s’accorde pareillement avec la formule (87) du § 6. Pour y parvenir, il suffit de prouver que, dans la formule (54) du § 7, la valeur de peut être réduite à
| (1) |
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {D} _{\rho }\left[\left(\mathrm {AB} +\rho ^{2}\right)\sin a\rho -(\mathrm {B-A} )\rho \cos a\rho \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1292f6dcbf05e73a4dadf55a97dbe0967b43b238)
étant une quantité algébrique et en même temps une racine de l’équation
| (2) |
ou, ce qui revient au même, de l’équation
