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lignes. Alors l’intégrale que renferme le premier membre de l’équation (1) se trouverait remplacée par la somme de plusieurs intégrales correspondantes aux divers côtés du polygone.

sixième note. Sur lanalogie des puissances et des différences.

Les formules du § 3 fournissent un moyen facile d’établir rigoureusement l’analogie des puissances et des différences, déjà signalée par divers auteurs, et spécialement par M. Brisson. D'aillenrs ces formules, et les applications qu'on peut en faire à l’intégration des équations différentielles ou aux. dérivées partielles, ont été reproduites avec de nouveaux développements dans le second volume des Exercices de Mathématiques.

septième note. Sur l’intégration des équations différentielles linéaires à coefficients croissants.

Les formules données dans le § 4, pour l’intégration des équations différentielles linéaires à coefficients constants, peuvent être aisément réduites à celles que j’ai plus tard établies et démontrées fort simplement dans les Exercices de Mathématiques. Ainsi, par exemple, si l’on fait usage du signe Ɛ et si l’on a égard à l’équation (24) du § 2, la formule (48) du § 4, qui représente l’intégrale générale de l’équation linéaire

(1)

$\operatorname {F} (D_{t})u=f(t),$

pourra s’écrire comme il suit :

(2)

$u={\text{Ɛ}}\left[{\frac {\operatorname {F} (\theta )-\operatorname {F} (\mathrm {U} )}{\theta -\mathrm {U} }}-\int _{0}^{t}e^{\theta (t-\tau )}f(\tau )d\tau \right]{\frac {1}{\left(\operatorname {F} (\theta )\right)}},$

les diverses puissances de $\mathrm {U}$ devant être remplacées, dans le développement de la fonction ${\frac {\operatorname {F} (\theta )-\operatorname {F} (\mathrm {U} )}{\theta -\mathrm {U} }},$ par les quantités

$u_{0},\quad u_{1},\ldots \quad u_{n-1},$

qui expriment les valeurs particulières de

$u,\quad \operatorname {D} _{t}u,\quad \ldots \operatorname {D} _{t}^{n-1}u$

correspondantes à une valeur nulle de $\mathrm {U} .$