Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/339

et par suite la nouvelle valeur approchée de la racine simple, qui différait peu de $\omega ,$ sera celle que détermine la formule

(23)

$z=\omega -{\mathfrak {\frac {a}{b}}}.$

Ainsi la nouvelle méthode, appliquée à la résolution d’une équation algébriques, finira par coïncider après, un certain nombre d’opérations, avec la méthode linéaire ou newtonienne.

deuxième note. Réduction des quantités géométriques à la forme $x+iy.$

D'après ce qui a été dit dans la note précédente, l’unité a pour racines quatrièmes les deux quantités algébriques

$-1,\quad +1,$

qui sont en même temps ses deux racines carrées, ou, ce qui revient au même les racines de l’équation binôme $x^{2}=1,$ et les deux quantités géométriques

$-1_{\frac {\pi }{2}},\quad 1_{\frac {\pi }{2}},$

qui sont en même temps les racines carrées de $-1,$ ou, ce qui revient au même, les racines de l’équation binôme $x^{2}=-1.$

La dernière de ces racines, ou $1_{\frac {\pi }{2}},$ est précisément la quantité géométrique que l’on désigne par la lettre $\mathrm {i} .$ Cela posé, comme on aura

$\mathrm {i} r=1_{\frac {\pi }{2}}r_{0}=r_{\frac {\pi }{2}},\qquad -\mathrm {i} r=1_{-{\frac {\pi }{2}}}r_{0}=r_{-{\frac {\pi }{2}}},$

il est clair que les deux quantités géométriques $\mathrm {i} r,-\mathrm {i} r$ se mesureront sur une même droite perpendiculaire à l’axe polaire, mais en sens inverse.

Lorsque la quantité géométrique $r_{p}$ a le pôle pour origine, son extrémité peut être censée avoir pour coordonnées polaires les quantités algébriques $r,\,p,$ et pour coordonnées rectangulaires les quantités algébriques $x,y,$ liées à $r,p$ par les formules

(1)

$x=r\cos p,\qquad y=r\sin p.$