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somme (13) d’une quantité supérieure au nombre a déterminé pour la formule

(17)

$\alpha =\left({\frac {m}{l}}-1\right)\mathbf {c} r^{m}+\ldots +\left({\frac {n}{l}}-1\right)\mathbf {h} r^{n}.$

Donc, par suite, le module $R$ de $Z$ deviendra inférieur à la quantité $\mathbf {a} -\alpha ,$ si l’on pose $z=r_{\varpi },$ en prenant pour $r$ le plus petit des deux nombres $\rho ,\varrho$ et à plus forte raison si l’on réduit le module $R$ à la plus petite des deux valeurs qu'il acquiert quand on pose successivement $z=\rho _{\varpi },$ $z=\varrho _{\varpi }.$ Ajoutons que le nombre $\alpha$ ne s’évanouira jamais, si ce n’est dans le cas particulier où, les coefficients $c,\ldots g,h,$ s’évanouissant tous simultanément le polynôme $Z$ se trouverait réduit au binôme $a+bz^{l}.$ D'ailleurs, dans ce cas particulier l’équation algébrique $Z=0$ se réduirait précisément à l’équation binôme $a+bz^{l}=0,$ dont les racines se confondent avec les racines de degré $l$ du rapport $-{\frac {a}{b}},$ l’une d’elles étant $\rho _{\varpi }.$

L'application du théorème 1 ou 2 aux fonctions entières, qui représentent les premiers membres d’une équation algébrique et de ses transformées successives, fournit, pour la résolution de cette équation une méthode et des formules précises qui ne renferment plus de quantités indéterminées et arbitraires, analogues au nombre $\theta$ du paragraphe précédent. À la vérité, pour déduire cette méthode des principes exposés dans le paragraphe précédent il suffit d’attribuer aux indéterminées dont il s’agit des valeurs spéciales, en prenant, par exemple, $\theta ={\frac {1}{2}}.$ Mais comme ces valeurs spéciales sont précisément celles qui font décroître plus rapidement le module de la fonction entière donnée, ou du moins certains nombres que ce module ne dépasse point, elles