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de quantités géométriques, spécialement celles que fournissent l’addition ou la soustraction de ces quantités, leur multiplication ou leur division, et leur élévation à des puissances entières. La formation des séries convergentes dont les termes généraux renfermeraient une ou plusieurs quantités géométriques variables, fournira de nouvelles fonctions de ces quantités, et parmi ces fonctions on devra distinguer les sommes de séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes d’une seule variable $z.$

Considérons en particulier la série

$1,\qquad {\frac {z}{1}},\qquad {\frac {z^{2}}{1.2}},\ldots$

qui a pour terme général ${\frac {z^{n}}{1.2\ldots n}},$ et qui ne cesse jamais d être convergente. La somme de cette série sera représentée, si $z$ est algébrique par l’exponentielle de $e^{z},$ en sorte qu'on aura dans ce cas

(1)

$e^{z}=1+{\frac {z}{1}}+{\frac {z^{2}}{1.2}}+{\text{etc}}\ldots ,$

$e$ étant la base des logarithmes hyberboliques ou népériens. D’ailleurs, pour que la formule (1) s’étende à tous les cas possibles, il suffira de concevoir que l’on se serve de cette formule, lors même que la variable $z$ est une quantité géométrique, pour définir l’exponentielle $e^{z}.$

Ajoutons que, si l’-on pose

(2)

$a=e^{\alpha },$

$\alpha$ désignant une quantité algébrique quelconque, on pourra supposer l’exponentielle $a^{z}$ généralement définie par la formule

(3)

$a^{z}=e^{\alpha z}.$

Ces conventions étant admises, on prouvera aisément que les propriétés connues des exponentiélles subsistent pour des exposants quelconques, même quand ces exposants sont des quantités géométriques. D'ailleurs, les exponentielles $e^{z},\,a^{z}$ étant définies par les formules (1) et (2), leur définition entraînera celle des logarithmes pris dans le système qui a pour base le nombre $e$ ou $a,$ c’est-à-dire des exposants qu'il faut attribuer à cette base, pour obtenir des quantités géotnétriques données.

Si, dans la formule (1), on réduit à zéro la partie algébrique de $z\,;$ si ,1'on pose, par exemple, $z=\mathrm {i} p,$ $p$ etant un angle quelconque, alors, en