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mite fixe s\,; et alors cette limite $s$ sera ce que nous appellerons la somme de la série. Dans le cas contraire, la série sera divergente, et n’aura plus de somme.

Soit maintenant $r^{(n)}$ le module du terme général $z^{(n)},$ et nommons $\varrho$ la limite unique ou la plus grande des limites vers lesquelles converge, pour des valeurs croissantes de $n,$ l’expression

$\left[r^{(n)}\right]^{\frac {1}{n}},$

c’est-à-dire la racine $n$^ième du module de $z^{(n)}.$ Le nombre $\varrho$ sera ce que nous appellerons le module de la série proposée et, par des raisonnements semblables à ceux dont j’ai fait usage dans mon Analyse algébrique, on établira sans peine la proportion suivante :

Premier théorème. Une série de quantités géométriques

$z^{(o)},\quad z^{(1)},\quad z^{(2)},\ldots \quad z^{(n)},\ldots$

prolongée indéfiniment dans un seul sens, est toujours convergente lorsque son module $\varrho$ est inférieur à l’unité, toujours divergente lorsque le module $\varrho$ surpasse l’unité.

Si le terme général $z^{(n)}$ est proportionnel à la $n$^ième puissance d’une certaine variable $z=r_{p},$ en sorte qu'on ait

$z^{(n)}=a^{(n)}z^{n},$

le coefficient $a^{(n)}$ pouvant être une quantité géométrique, alors en nommant $\rho$ le module de la série qui a pour terme général $a^{(n)}$ on trouvera

$\varrho =\rho r,$

et l’on déduira immédiatement du théorème 1^er la proposition suivante :

Deuxième théorème. La série

$a^{(o)},\quad a^{(1)}z,\quad a^{(2)}z^{(2)},\ldots \quad a^{(n)}z^{(n)},\ldots$

ordonnée suivant les puissances ascendantes de la variable $z,$ est convergente ou divergente suivant que le module $n$ de $z$ est inférieur ou supérieur à ${\frac {1}{\varrho }},$ $\varrho$ désignant le module de la série

$a^{(0)},\quad a^{(1)},\quad a^{(2)},\ldots \quad a^{(n)},\ldots$

formée avec les coefficients des puissances successives de $z.$

Une quantité géométrique est dite fonction de plusieurs autres lorsqu'elle varie avec elles.

Dans la note première, nous avons déjà considéré diverses fonctions