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quand on a égard aux termes omis reste inférieur au module de $a.$ Cette remarque permet d’employer la nouvelle méthode à la résolution d’une équation numérique donnée, dans le cas même où l’application rigoureuse des théorèmes 1 et 2 aux premiers membres des transformées de cette équation ferait décroître très-lentement après un certain nombre d’opérations, les modules de ces premiers membres.

On sait que l’on peut toujours ramener la résolution d’une équation algébrique au cas où cette équation n’offre pas de racines égales. D'ailleurs, lorsqu'à l’aide de la nouvelle méthode on sera parvenu à une valeur très-approchée \psi‰ d’une racine simple d’une équation algébrique,

(18)

$Z=0,$

alors, en posant

(19)

$z=\omega +\zeta ,$

on transformera $Z$ en une fonction de $\zeta$ dans laquelle le terme constant sera sensiblement nul, tandis que le coefficient de $\zeta$ différera sensiblement de zéro. Quant au coefficient de $\zeta ^{n},$ il se réduira précisément au coefficient de $z^{n}$ dans la fonction $Z.$ Donc, dans l’hypothèse admise on trouvera

(20)

$Z={\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\zeta +{\mathfrak {c}}\zeta ^{2}+\ldots +{\mathfrak {g}}\zeta ^{n-1}+\mathbf {h} \zeta ^{n},$

${\mathfrak {a,b,c\ldots g}}$ désignent de nouveaux coefficients dont le premier ${\mathfrak {a}}$ offrira un module très-petit, tandis que le module de ${\mathfrak {b}}$ différera sensiblement de zéro. Donc alors, en vertu du théorème i^er, il faudra, pour rendre le module de $Z$ inférieur au module de ${\mathfrak {a}},$ poser

(21)

${\mathfrak {a+b}}\zeta =0,$

ou, ce qui revient au même,

(22)

$\zeta =-{\mathfrak {\frac {a}{b}}}\,;$