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$z=\rho _{\varpi },\qquad z=\varrho _{\varpi }.$

Démonstration. Lorsque l’argument de $z$ étant égal à $\varpi ,$ le module de $z$ est égal ou inférieur à $\rho ,$ le module du binôme $a+bz^{l}$ se réduit à la différence

$\mathbf {a} -\mathbf {b} r^{l}\,;$

par conséquent le module de $Z$ ne surpasse pas la somme

(13)

$\mathbf {a} -\mathbf {b} r^{l}+\mathbf {c} r^{m}+\ldots +\mathbf {h} r^{n}.$

D'autre part, le produit (11), qui croîtra en passant d’une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que $r$ croîtra depuis zéro jusqu'à $\varrho ,$ sera toujours positif dans cet intervalle. Donc, pour $r=$ ou $<\varrho ,$ on aura

(14)

$\mathbf {c} r^{m}+\ldots +\mathbf {h} r^{n}<\mathbf {b} r^{l}.$

Or il résulte immédiatement de cette dernière formule, que, si l’on réduit le module $r$ au plus petit des deux nombres $\rho ,\varrho ,$ la somme (13), et à plus forte raison le module de $Z,$ offriront des valeurs inférieures au module $\mathbf {a} .$ Donc le plus petit des modules de $Z$ correspondants aux valeurs $\rho _{\varpi },\varrho _{\varpi }$ de $z,$ sera certainement inférieur au module $\mathbf {a} .$

Corollaire. Il est bon d’observer que, si l’on considère le produit (11) comme une fonction de $r$ ce produit, qui croît toujours avec $r$ quand on fait varier $r$ entre les limites $0,$ $\varrho ,$ offrira dans cet intervalle une dérivée toujours positive. Donc, pour $r<\varrho ,$ on aura toujours

(15)

$l\mathbf {b} r^{l-1}-m\mathbf {c} r^{m-1}-\ldots -n\mathbf {h} r^{n-1}>0,$

ou, ce qui revient au même,

$l\mathbf {b} r^{l}-m\mathbf {c} r^{m}-\ldots -n\mathbf {h} r^{n}>0\,;$

puis on en conclura

(16)

$\mathbf {b} r^{l}-\mathbf {c} r^{m}-\ldots -\mathbf {h} r^{n}>\left({\frac {m}{l}}-1\right)\mathbf {c} r^{m}+\ldots +\left({\frac {n}{l}}-1\right)\mathbf {b} r^{n}.$

Or, en vertu de cette dernière formule, qui entraîne évidemment avec elle la condition (t4), le module $\mathbf {a}$ surpassera la