Premier théorème. Soient
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une fonction entière de la variable et
les modules des coefficients
Supposons d’ailleurs que, les coefficients n’étant pas nuls, on nomme la racine de l’équation binôme
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et la valeur de pour laquelle le produit
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devient un maximum, ou, ce qui revient au même, la racine positive unique de l’équation
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Pour rendre le module de la fonction inférieur au module de son premier terme il suffira de réduire ce module à la plus petite des deux valeurs qu'il obtient quand on pose successivement :
Démonstration. Lorsque, l’argument de étant égal à le module de est égal ou inférieur à le module du binôme se réduit à la différence
par conséquent le module de ne surpasse pas la somme
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D'autre part le produit (3), qui croîtra en passant d’une valeur nulle à sa valeur maximum, tandis que croîtra depuis zéro jusqu'à sera toujours positif dans cet intervalle. Donc pour ou on aura
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