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Lorsque dans la fonction entière $z$ tous les termes s’évanouissent, à l’exception des termes extrêmes $a$ et $hz^{n},$ la formule (5), réduite à l’équation binôme

(10)

$a+hz^{n}=0,$

donne

(11)

$z^{n}=-{\frac {a}{h}},$

et ses diverses racines ne sont autres que les racines $n$^ièmes du rapport $-{\frac {a}{h}}.$

§ 5. Sur la résolution des équations algébriques.

Considérons toujours une équation algébrique

(1)

$Z=0,$

dont le premier membre

(2)

$a+bz+cz^{2}+\ldots +gz^{n-1}+hz^{n}$

soit une fonction entière de la variable

$z=r_{p},$

les coefficients $a,b,c,\ldots g,h$ pouvant être eux-mêmes des quantités géométriques. Comme on l’a prouvé dans le précédent paragraphe cette équation admettra généralement $n$ racines, c’est-à-dire que l’on pourra généralement assigner à $z,$ $n$ valeurs pour lesquelles la fonction $Z$ s’évanouira. Résoudre l’équation c’est déterminer ces racines en commençant par l’une quelconque d’entre elles ; et la condition à laquelle une méthode de résolution devra satisfaire, sera de fournir chaque racine avec telle approximation que l’on voudra. Or, le caractère d’une racine est de réduire à zéro la fonction $Z$ avec son module $R$ et si des valeurs successives de $z$ correspondent à des valeurs de $R$ qui décroissent sans