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Donc le module $R$ de $Z$ deviendra infiniment grand avec le module $r$ de $z\,;$ et à une valeur finie du module $R$ de la fonction $Z$ ne pourra jamais correspondre qu'une valeur finie du module $r$ de la variable $Z.$

Concevons maintenant que l’on attribue à la variable $z$ une valeur finie, puis à cette valeur finie un accroissement

$\zeta =\rho _{\pi },$

dont le module $\rho$ soit très-petit et en désignant cet accroissement par $\Delta z,$ nommons $\Delta Z,$ l’accroissement correspondant de la fonction $Z.$ Pour obtenir $Z+\Delta Z,$ il suffira de remplacer $z$ par $z+\zeta$ dans le seconde membre de l’équation (1), où chaque terme pourra être développé, à l’aide de la formule du binôme, en une suite ordonnée selon les puissances entières et ascendantes de $\zeta .$ En opérant ainsi, et réunissant les termes semblables, on obtiendra le développement de $Z+\Delta Z$ en une suite de termes proportionnels aux puissances entières de $\zeta ,$ d’un degré inférieur ou égal à $n.$ Si de cette suite on retranche la fonction $Z$ représentée par le terme indépendant de $\zeta ,$ on obtiendra un reste qui sera divisible algébriquement par $\zeta ,$ et qui représentera le développement de $\Delta Z.$ Nommons $\zeta ^{m}$ la plus petite des puissances de $\zeta ,$ comprises dans ce développement. Le quotient, que produira la division de $\Delta Z$ par $\zeta ^{m},$ sera une fonction entière de $\zeta$ qui se réduira, pour une valeur nulle de $\zeta ,$ à une limite finie et différente de zéro. Soient ${\mathfrak {R_{P}}}$ ce quotient, et ${\mathcal {R_{P}}}$ la limite dont il s’agit. On aura, non-seulement

$\zeta ^{m}=\left(\rho ^{m}\right)_{m\varpi },$

mais encore

$\Delta Z={\mathfrak {R_{P}}}\zeta ^{m}=\left({\mathfrak {R}}_{\rho ^{m}}\right)_{{\mathfrak {P}}+m\varpi },$