Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/313

algébriques

$-1,\qquad +1\,;$

pour racines cubiques de l’unité, la seule quantité algébrique 2, et les deux quantités géométriques

$1_{-{\frac {2\pi }{n}}},\qquad 1_{\frac {2\pi }{n}}\,;$

pour racines quatrièmes de l’unité, les deux quantités algébriques $1,-1,$ et les deux quantités géométriques

$1_{-{\frac {\pi }{n}}},\qquad 1_{\frac {\pi }{n}},$

liées entre elles par la formule

$1_{-{\frac {\pi }{n}}}=-1_{\frac {\pi }{n}},$

etc….

Si, dans l’expression (5), on posait $k=0,$ cette expression réduite à

$\left(r^{\frac {1}{n}}\right)_{\frac {p}{n}},$

représenterait une seule des racines $n$^ièmes de $r_{p}.$ Or, il suffira de multiplier celle-ci par l’une des valeurs de $1_{\frac {2k\pi }{n}},$ c’est-à-dire, par l’une quelconque des racines $n$^ièmes de l’unité, pour reproduire l’expression (5), propre à représenter l’une quelconque des racines $n$^ièmes de $r_{p},$ attendu que l’on aura généralement

$\left(r^{\frac {1}{n}}\right)_{{\frac {p}{n}}+{\frac {2k\pi }{n}}}=\left(r^{\frac {1}{n}}\right)_{\frac {p}{n}}1_{\frac {2k\pi }{n}}.$

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Troisième théorème. Pour obtenir les diverses racines $n$^ièmes d’une quantité géométrique, il suffit de multiplier successivement l’une quelconque d’entre elles par les diverses racines $n$^ièmes de l’unité.