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que nous appellerons la $m$^ième puissance de cette quantité, et ce que nous indiquerons, suivant l’usage adopté pour les quantités algébriques, par la notation

$r_{p}^{m}.$

Cela posé, l’équation (4) entraînera évidemment la formule

(7)

$r_{p}^{m}=\left(r^{m}\right)_{mp}\,;$

et l’on étendra sans peine aux puissances entières de quantités géométriques les propositions connues et relatives aux puissances entières de quantités algébriques. Ainsi, par exemple, en désignant par $m,n$ deux nombres entiers, on aura

(8)

$r_{p}^{m}r_{p}^{n}=r_{p}^{m+n},$

(9)

$\left(r_{p}^{m}\right)^{n}=r_{p}^{mn}.$

Ainsi encore, on conclura du quatrième théorème que la formule de Newton, relative au développement de la puissance entière d’un binôme, subsiste dans le cas même où ce binôme est la somme de deux quantités géométriques.

Deux quantités géométriques seront dites opposées l’une à l’autre, lorsque leur somme sera nulle, et inverses l’une de l’autre, lorsque leur produit sera l’unité. D'après ces définitions, la quantité géométrique $r_{p+\pi }$ ou $-r_{p}$ sera l’opposée de $r_{p}.$ De plus, si l’on étend les formules (7), (8), au cas même où l’exposant m devient nul ou négatif, on aura identiquement

$r_{p}^{0}=1,$

et la quantité géométrique $r_{p}^{-1}$ ne sera autre chose que l’inverse de $r_{p}.$ Pareillement, $r_{p}^{-m}$ sera l’inverse de $r_{p}^{m},$ et l’on aura

(10)

$r_{p}^{-m}=\left(r^{-m}\right)_{-mp}.$