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faire tourner autour de l’origine chacun des rayons vecteurs

$R_{p},\qquad r_{p},\qquad r'_{p'},\ldots$

et par suite le polygone $\mathrm {OABC\ldots HK}$ dont la construction fournit la valeur de $R_{p},$ en faisant décrire à chaque rayon vecteur l’angle $\varpi \,;$ elle laissera donc subsister l’équation (1), qui deviendra

(5)

$R_{p+\varpi }=r_{p+\varpi }+r'_{p'+\varpi }+r''_{p''+\varpi }+\ldots$

En second lieu on pourra, sans altérer les directions des côtés du polygone $\mathrm {OABC\ldots HK} ,$ le transformer en un polygone semblable, en faisant varier ses côtés dans le rapport de $1$ à $\rho ,$ et l’on pourra ainsi de la formule (5), déduire l’équation

$(R_{\rho })_{p+\varpi }=(r_{\rho })_{p+\varpi }+(r'_{\rho })_{p'+\varpi }+\ldots$

qui peut être présentée sous la forme

(6)

$\rho _{\varpi }R_{p}=\rho _{\varpi }r_{p}+\rho _{\varpi }r'_{p'}+\ldots$

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Troisième théorème. Pour multiplier la somme

$r_{\rho }+r'_{p'}+\ldots$

de plusieurs quantités géométriques $r_{p},r'_{p'}\ldots$ par le facteur géométrique $\rho \varpi ,$ il suffit de. multiplier chacun des termes qui la composent par ce même facteur.

Ce théorème une fois établi, on en déduit immédiatement la proposition plus générale dont voici l’énoncé :

Quatrième théorème. Le produit de plusieurs sommes de quantités géométriques est la somme des produits partiels que l’on peut former avec les divers termes de ces mêmes sommes, en prenant un facteur dans chacune d’elles.

Soit maintenant $m$ un nombre entier quelconque. Le produit de $m$ facteurs égaux à la quantité géométrique $r_{p}$ est ce