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On peut, au reste, déduire directement ce second théorème de cette seule considération, que dans un polygone formé $\mathrm {OABC\ldots HK} ,$ le dernier côté $\mathrm {OK}$ ne peut surpasser la somme de tous les autres.

Ce que nous nommerons le produit de plusieurs quantités géométriques, ce sera une nouvelle quantité géométrique qui aura pour module le produit de leurs modules, et pour argument la somme de leurs arguments. Nous indiquerons le produit de plusieurs quantités géométriques,

$r_{p},\qquad r'_{p'},\qquad r''_{p''},\ldots$

à l’aide des notations que l’on emploie dans le cas où il s’agit de quantités algébriques, par exemple, en plaçant ces quantités à la suite les unes des autres sans les faire précéder d’aucun signe. Cela posé, on aura, d’après la définition énoncée,

(4)

$r_{p}r'_{p'}r''_{p''}\ldots =(rr'r''\ldots )_{p+p'+p''+\ldots }.$

On sait que, pour multiplier par un facteur donné la somme de plusieurs nombres ou de plusieurs quantités algébriques, il suffit de multiplier chaque terme de la somme par le facteur dont il s’agit. La somme $R_{p}$ de plusieurs quantités géométriques $r_{p},r'_{p'},\ldots$ jouit de la même propriété. Pour le prouver, il suffit de faire voir que l’équation (1) continuera de subsister, si l’on multiplie les divers termes

$R_{p},\qquad r_{p},\qquad r'_{p'},\qquad r''_{p''},\ldots$

par un facteur géométrique $\rho \varpi .$ Or, en premier lieu, si le module $\rho$ se réduit à l’unité, il suffira, pour effectuer la multiplication dont il s’agit, d’ajouter l’argument rt à chacun des arguments $P,\,p,\,p',\,p'',\ldots .$ Mais cette opération revient à