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on remplace $n$ par $m,$ et ${\mathfrak {f}}(x)$ par ${\mathfrak {f}}(x,y)-{\mathfrak {f}}(x,-y),$ on trouvera

$\left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{m}e^{2ma\alpha }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{m}e^{-2ma\alpha }-1\right)$

$\times {\Bigl (}{\mathfrak {f}}(x,y)-{\mathfrak {f}}(x,-y)-{\mathfrak {f}}(-x,y)+{\mathfrak {f}}(-x,-y){\Bigr )}$

$={\frac {2}{a}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin {\frac {m\pi x}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {m\pi \mu }{a}}\left[{\mathfrak {f}}(\mu ,y)-{\mathfrak {f}}(\mu ,-y)\right]d\mu .$

On trouvera de même

$\left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{'n}e^{2nb\beta }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{'n}e^{-2nb\beta }-1\right)\left({\mathfrak {f}}(\mu ,y)-{\mathfrak {f}}(\mu ,-y)\right)$

$={\frac {2}{b}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin {\frac {n\pi y}{a}}\int _{0}^{b}\sin {\frac {n\pi \nu }{b}}{\mathfrak {f}}(\mu ,\nu )d\nu .$

Cela posé, la formule (64) donnera

(65)

$f(x,y)={\frac {4}{ab}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin {\frac {m\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi y}{b}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{a}\sin {\frac {m\pi \mu }{a}}\sin {\frac {n\pi \nu }{b}}{\mathfrak {f}}(\mu ,\nu )d\mu \,d\nu .$[1]

1. Il m’a semblé inutile de reproduire ici des formules qui, dans le manuscrit, suivaient celles qu'on vient de lire, et qui se rapportaient uniquement à la question traitée aux pages 33 et 34 du mémoire sur l’application du calcul des résidus à la solution des problèmes de physique mathématique.