on remplace
par
et
par
on trouvera
![{\displaystyle \left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{m}e^{2ma\alpha }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{m}e^{-2ma\alpha }-1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94435b2f0d10594bbb008ad118f644b781f34602)
![{\displaystyle \times {\Bigl (}{\mathfrak {f}}(x,y)-{\mathfrak {f}}(x,-y)-{\mathfrak {f}}(-x,y)+{\mathfrak {f}}(-x,-y){\Bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c3df7c75412258ac8dde2a0d4016647b00bc94)
![{\displaystyle ={\frac {2}{a}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin {\frac {m\pi x}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {m\pi \mu }{a}}\left[{\mathfrak {f}}(\mu ,y)-{\mathfrak {f}}(\mu ,-y)\right]d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5e0c581667dd0c5d094e3d6b3941433770080)
On trouvera de même
![{\displaystyle \left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{'n}e^{2nb\beta }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{'n}e^{-2nb\beta }-1\right)\left({\mathfrak {f}}(\mu ,y)-{\mathfrak {f}}(\mu ,-y)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1426738af20f1aa5ce2e2cd5f47f631dd6d666c6)
![{\displaystyle ={\frac {2}{b}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin {\frac {n\pi y}{a}}\int _{0}^{b}\sin {\frac {n\pi \nu }{b}}{\mathfrak {f}}(\mu ,\nu )d\nu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4f0e473e900af6304d5bc7e12e5fc33fcde11b)
Cela posé, la formule (64) donnera
(65)
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[1]
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- ↑ Il m’a semblé inutile de reproduire ici des formules qui, dans le manuscrit, suivaient celles qu'on vient de lire, et qui se rapportaient uniquement à la question traitée aux pages 33 et 34 du mémoire sur l’application du calcul des résidus à la solution des problèmes de physique mathématique.