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(51)

$\varpi (x)={\frac {1}{2}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum {\frac {1}{\mathrm {R} }}\int _{0}^{a}\left({\frac {\psi (\rho \mathrm {i} )e^{\rho (x-\mu )\mathrm {i} }}{\mathrm {A-\rho i} }}-{\frac {\psi (\rho \mathrm {i} )e^{\rho (x+\mu )\mathrm {i} }}{\mathrm {A+\rho i} }}\right){\mathfrak {f}}(wm)d\mu$

$={\frac {1}{2}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum {\frac {e^{\rho x\mathrm {i} }}{\mathrm {R} }}\int _{0}^{a}\left[(\mathrm {B} +\rho \mathrm {i} )e^{(a-\mu )\rho \mathrm {i} }-(\mathrm {B} -\rho \mathrm {i} )e^{(\mu -a)\rho \mathrm {i} }\right]{\mathfrak {f}}(wm)d\mu ,$

ou, ce qui revient au même,

(52)

${\begin{aligned}\varpi (x)&=\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum {\frac {e^{\rho x\mathrm {i} }\mathrm {i} }{\mathrm {R} }}\int _{0}^{a}\left[\mathrm {B} \sin(a-\mu )\rho +\rho \cos(a-\mu )\rho \right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&=\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum {\frac {-\sin \rho x}{\mathrm {R} }}\int _{0}^{a}\left[\mathrm {B} \sin(a-\mu )\rho +\rho \cos(a-\mu )\rho \right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,;\end{aligned}}$

après quoi la formule

(53)

$f(x)=(\mathrm {A} -\alpha )\varpi (x)=[\mathrm {A-D} _{x}]\varpi (x)$

donnera

(54)

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\rho \cos \rho x-\mathrm {A} \sin \rho x}{\mathrm {R} }}\int _{0}^{a}\left[\mathrm {B} \sin(a-\mu )\rho +\rho \cos(a-\mu )\rho \right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu .$

Quatrième prohlème. Intégrer l’équation

(55)

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-r^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-s^{2}{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=0,\qquad {\text{ou}}\qquad \left(\theta ^{2}-r^{2}\alpha ^{2}-s^{2}\beta ^{2}\right)z=0,$

de manière que l’on ait

$\left.{\begin{aligned}{\text{pour }}\quad x&=0\\{\text{et pour }}\quad x&=a\end{aligned}}\right\}\ z=0,\quad$quels que soient$\quad y\quad {\text{et}}\quad t,$

$\left.{\begin{aligned}{\text{pour }}\quad y&=0\\{\text{et pour }}\quad y&=b\end{aligned}}\right\}\ z=0,\quad$quels que soient$\quad x\quad {\text{et}}\quad t,$

${\text{pour }}\quad t=0\left\{{\begin{aligned}z&={\mathfrak {f}}(x,y)\\{\frac {dz}{dt}}&=0\end{aligned}}\right.\left\{{\begin{aligned}&{\text{entre les limites }}x=0,\\&\quad x=a,\,y=0,\,y=b{\text{ et}}\\&\quad {\mathfrak {f}}(x,y){\text{ étant une fonction}}\\&\quad {\text{toujours nulle hors de}}\\&\quad {\text{ces limites.}}\end{aligned}}\right.$

Solution. On trouvera, en raisonnant comme dans le second problème,