Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/288

jours connue entre les limites $x=0,$ $x=a,$ et toujours nulle hors de ces limites, on aura

(14)

$\left\{{\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu ,\\{\mathfrak {f}}(-x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\lambda (x+\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu ,\end{aligned}}\right.$

et l’on en conclura

(15)

$\left\{{\begin{aligned}\operatorname {F} (\alpha ){\mathfrak {f}}(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\operatorname {F} (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu ,\\\operatorname {F} (\alpha ){\mathfrak {f}}(-x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\operatorname {F} (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x+\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu .\end{aligned}}\right.$

Observons enfin que si la fonction $\varpi (x),$ étant propre à vérifier l’équation

(16)

$\left[\varphi (\alpha )-1\right]\varpi (x)=0,$

est donnée par la formule

(17)

$\varpi (x)=\left[\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}\left(\varphi (\alpha )\right)^{n}+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}\left({\frac {1}{\varphi (\alpha )}}\right)^{n}-1\right]\operatorname {f} (x),$

ou

(18)

$\left\{{\begin{aligned}\varpi (x)&=\left[{\frac {1}{1-\eta \varphi (\alpha )}}+{\frac {1}{1-{\frac {\eta }{\varphi (\alpha )}}}}-1\right]\operatorname {f} (x),\\&={\frac {1-\eta ^{2}}{1-\eta \left[\varphi (\alpha )+{\frac {1}{\varphi (\alpha )}}\right]+\eta ^{2}}}\operatorname {f} (x),\end{aligned}}\right.$

$\eta$ représentant un nombre très-rapproché de l’unité on trouvera, en désignant par $\rho$ une racine réelle de l’équation

(19)

$\varphi (\rho \mathrm {i} )=1,$

et posant

(20)

$\mathbf {Q} =\pm \varphi '(\rho \mathrm {i} ),$

ou, ce qui revient au même, en représentant par $\mathbf {Q}$ la va-