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(129)

$e^{a\lambda \mathrm {i} }-e^{-a\lambda \mathrm {i} }=0,\qquad {\text{ou}}\qquad \sin a\lambda =0,$

on trouve

(130)

${\begin{aligned}\int _{\rho -\varepsilon }^{\rho +\varepsilon }{\frac {(1-\eta )d\lambda }{1-2\eta \cos(2a\lambda )+\eta ^{2}}}=&\int _{\rho -\varepsilon }^{\rho +\varepsilon }{\frac {(1-\eta )d\lambda }{(1-\eta \cos 2a\lambda )^{2}+(\eta \sin 2a\lambda )^{2}}}\\=&{\frac {\pi }{2a}}.\end{aligned}}$

Donc, par suite, on aura

(131)

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2a}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum \int _{0}^{a}\left[e^{\rho (x-\mu )\mathrm {i} }-e^{\rho (x+\mu )\mathrm {i} }\right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {1}{2a}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum \int _{0}^{a}\left[\cos \rho (x-\mu )-\cos \rho (x+\mu )\right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {1}{a}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum \int _{0}^{a}\sin \rho x.\sin \rho \mu .{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {2}{a}}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \sin \rho x\int _{0}^{a}\sin \rho \mu .{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu ?\end{aligned}}$

ce qui est exact.

Il est aisé de voir que les méthodes ci-dessus exposées sont applicables à tous les problèmes du mêmé genre.

§ 7. Développement des principes établis dans le paragraphe précédent.

Adoptons les notations du paragraphe 3^e, en sorte qu'on ait

(1)

$\operatorname {F} (\alpha )f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\lambda \mathrm {i} )f(\mu )d\mu \,d\lambda ,$

quelles que soient les fonctions $\operatorname {F} (\alpha )$ et $f(\mu ).$ On en conclura, si $\operatorname {F} (\alpha )$ désigne une fonction entière de $\alpha$ et de $e^{\alpha },$ en sorte qu'on ait

(2)

$\operatorname {F} (\alpha )=\varphi \left(\alpha ,e^{\alpha }\right),$