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(122)

$\varphi (\alpha )=$

${\frac {e^{-a\alpha }}{\mathrm {(A-\alpha )(B+\alpha )} }}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \left[\eta \mathrm {\frac {(A+\alpha )B-\alpha )}{(A-\alpha )B+\alpha )}} e^{-2a\alpha }\right]^{n}$

$+{\frac {e^{a\alpha }}{\mathrm {(A+\alpha )(B-\alpha )} }}\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \left[\eta \mathrm {\frac {(A-\alpha )B+\alpha )}{(A+\alpha )B-\alpha )}} e^{2a\alpha }\right]^{n}$

on trouvera

(123)

$\varpi (x)=\varphi (\alpha )\left[(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }{\mathfrak {f}}(x)-(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }{\mathfrak {f}}(-x)\right].$

De plus, il est clair que la valeur de $\varphi (\alpha )$ donnée par l’équation (122) deviendra

(124)

${\begin{aligned}\varphi (\alpha )&={\frac {1}{(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-\eta (\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }}}\\&+{\frac {1}{(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }-\eta (\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }}}.\end{aligned}}$

Les formules (123) et (124) coïncident exactement avec les formules (102) et (111). Pour achever la solution du problème, et retrouver la formule (79), il suffira de recourir à l’équation

(103)

${\mathfrak {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu ).d\mu \,d\lambda ,$

et d’observer qu'on aura généralement

(125)

$\left\{{\begin{aligned}\chi (\alpha ){\mathfrak {f}}(x)=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\chi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda ,\\\chi (-\alpha ){\mathfrak {f}}(-x)=&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\chi (-\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x+\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda .\end{aligned}}\right.$

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Revenons maintenant à l’équation des cordes vibrantes. On a, dans ce cas, pour déterminer $f(x),$ les deux équations

(126)

$\left\{{\begin{aligned}&\left(e^{a\alpha }-e^{-a\alpha }\right)f(x)=0,\\&f(x)=-f(-x).\end{aligned}}\right.$

De plus, nous appellerons encore ${\mathfrak {f}}(x)$ une fonction qui sera égale à la valeur connue de $f(x)$ entre les limites $x=0,$