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(110)

$\varpi (x)={\frac {{\mathfrak {f}}(x)}{\mathrm {A} -\alpha }}.$

Remarquons enfin que, si l’on pose comme ci-dessus

(102)

${\begin{aligned}\varphi (\alpha )&={\frac {1}{(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-\eta (\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }}}\\&+{\frac {1}{(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }-\eta (\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }}}\\&={\frac {2\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-\left[(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }\right]^{2}}},\end{aligned}}$

la valeur de $\varpi (x)$ deviendra simplement

(111)

$\varpi (x)=\varphi (\alpha )\left[(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }{\mathfrak {f}}(x)-(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }{\mathfrak {f}}(-x)\right].$

On pourrait, à l’aide des équations (109) et (110), déterminer directement la valeur de $\varpi (x),$ ainsi qu'il suit :

Soit d’abord

(112)

$\varpi (x)=\chi (\alpha ){\mathfrak {f}}(x)+\psi (\alpha ){\mathfrak {f}}(-x).$

Si, dans cette formule, on change $x$ en $-x,$ on devra changer aussi $\alpha$ en $-\alpha ,$ et l’on trouvera par suite

(113)

$\varpi (-x)=\chi (-\alpha ){\mathfrak {f}}(-x)+\psi (-\alpha ){\mathfrak {f}}(x).$

Si l’on ajoute les équations (112) et (113), on trouvera, en ayant égard à la première des équations (109),

$0=\left[\chi (\alpha )+\psi (-\alpha )\right]{\mathfrak {f}}(x)+\left[\chi (-\alpha )+\psi (\alpha )\right]{\mathfrak {f}}(-x).$

On satisfait à cette dernière en posant

$\psi (\alpha )=-\chi (-\alpha ).$

Donc

(114)

$\varpi (x)=\chi (\alpha ){\mathfrak {f}}(x)-\chi (-\alpha ){\mathfrak {f}}(-x).$

Observons de plus qu'on tirera de la seconde des équations (109)