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On aura donc aussi

(100)

$\left\{{\begin{aligned}&\left[\varphi (\alpha )\varpi (\alpha )\right]\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda \\&\quad =\ \ \varphi (\alpha )\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\varpi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda \\&\quad =\;\ \qquad \int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}\varphi (\lambda \mathrm {i} )\varpi (\lambda \mathrm {i} )e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }\operatorname {F} (\mu )d\mu \,d\lambda \\&\quad =\varphi (\alpha )\varpi (\alpha )\operatorname {F} (x),\quad {\text{entre les limites}}\quad \left\{{\begin{aligned}x=&0\\x=&a\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}\right.$

Cela posé, on pourra immédiatement remplacer, dans les formules (75) et par suite dans les formules (76), (77), etc., $\alpha$ par $\lambda \mathrm {i} ,$ et l’on obtiendra de cette manière la formule (79). Réciproquement, on pourra écrire partout dans la formule (77) $\alpha$ au lieu de $\lambda \mathrm {i} \,;$ et l’on trouvera ainsi, au lieu de l’équation (77) ou (79), une équation de la forme

(101)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \qquad \qquad \qquad f(x)=\\&(\mathrm {A} -\alpha )\varphi (\alpha )\left[(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }{\mathfrak {f}}(x)-(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }{\mathfrak {f}}(-x)\right],\end{aligned}}\right.$

pourvu que l’on fasse

(102)

${\begin{aligned}\varphi (\alpha )&={\frac {1}{(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }-\eta (\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }}}\\&+{\frac {1}{(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }-\eta (\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }}}\end{aligned}}$

$=4(1-\eta ){\frac {(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }+(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }}{\left({\begin{aligned}&(1-\eta )^{2}\left[(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }+(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }\right]^{2}\\-&(1+\eta )^{2}\left[(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }-(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }\right]^{2}\end{aligned}}\right)}}$

$={\frac {2\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-\left[(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{-a\alpha }-(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{a\alpha }\right]^{2}}},$

$\varepsilon$ étant un nombre infiniment petit et que l’on désigne par

(103)

${\mathfrak {f}}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{a}e^{\lambda (x-\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \,d\lambda ,$