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de plus on fait pour abréger

(89)

$\left\{{\begin{aligned}\mu &={\frac {a}{2}}+z,\qquad {\mathfrak {f}}\left({\frac {a}{2}}+z\right)=\operatorname {f} (z),\\\mathrm {R} &={\frac {d\left[(\mathrm {B-A} )\rho \cos a\rho -\left(\mathrm {AB} +\rho ^{2}\right)\sin a\rho \right]}{d\rho }},\end{aligned}}\right.$

on trouvera

(90)

$f(x)=$

$-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\sum {\frac {\left[\rho \cos \left(z-{\frac {a}{2}}\right)\rho -\mathrm {B} \sin \left(z-{\frac {a}{2}}\right)\rho \right]\left[\rho \cos \left(x+{\frac {a}{2}}\right)\rho -\mathrm {A} \sin \left(x+{\frac {a}{2}}\right)\rho \right]}{\mathrm {R} }}\operatorname {f} (z)dz,$

ou, ce qui revient au même,

(91)

$\left\{{\begin{aligned}&f(x)=\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum {\frac {\mathrm {P} \cos \rho x+\mathrm {Q} \sin \rho x}{\mathrm {R} }},\qquad {\text{et}}\\&u=e^{-rt}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum {\frac {\mathrm {P} \cos \rho x+\mathrm {Q} \sin \rho x}{\mathrm {R} }}e^{-m^{2}\rho ^{2}t},\end{aligned}}\right.$

pourvu que l’on fasse

(92)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {P} &=-\int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\left[\rho \cos(z-l)\rho -\mathrm {B} \sin(z-l)\rho \right]\left[\rho \cos l\rho -\mathrm {A} \sin l\rho \right]\operatorname {f} (z)dz,\\\mathrm {Q} &=\quad \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}\left[\rho \cos(z-l)\rho -\mathrm {B} \sin(z-l)\rho \right]\left[\rho \sin l\rho +\mathrm {A} \cos l\rho \right]\operatorname {f} (z)dz,\end{aligned}}\right.$

la valeur de $l$ étant ${\frac {a}{2}}.$

Si l’on observe d’ailleurs que $\rho$ désigne une des racines de l’équation

(93)

$\left(\mathrm {AB} +\rho ^{2}\right)\sin 2l\rho -(\mathrm {B-A} )\rho \cos 2l\rho =0,$

on reconnaîtra immédiatement que les formules (91) et (92) coïncident avec celles que M. Poisson a données.

Les formules précédentes paraissent n’être établies que