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$\varpi (x)=\operatorname {f} (0,x-a)-\operatorname {f} (0,a-x).$

Donc

(61)

$\varpi (x)=-\varpi (2a-x).$

Les équations

(62)

$\left\{{\begin{aligned}&\varpi (x)=-\varpi (2a-x),\\&\operatorname {F} (\alpha )\varpi (x)=0,\\&f(x)=(\mathrm {A} -\alpha )\varpi (x)=\mathrm {A} \varpi (x)-\varpi '(x),\end{aligned}}\right.$

suffiront pour prolonger la fonction $f(x)$ au delà des limites entre lesquelles sa valeur est connue.

Il est bon de remarquer que l’on tire des équations (62)

${\begin{aligned}\varpi (x+a)=&-\varpi (a-x)\qquad {\text{et de plus}}\\f(x+a)=&\mathrm {A} \varpi (x+a)-\varpi '(x+a)\\=&(\mathrm {A} -\alpha )\varpi (x+a),\\f(a-x)=&\mathrm {A} \varpi (a-x)-\varpi '(a-x)\\=&(\mathrm {A} +\alpha )\varpi (a-x)\\=&-(\mathrm {A} +\alpha )\varpi (x+a),\end{aligned}}$

et par suite

(63)

$(\mathrm {A} +\alpha )f(x+a)+(\mathrm {A} -\alpha )f(a-x)=0,$

ou

(64)

$(\mathrm {A} +\alpha )e^{a\alpha }f(x)+(\mathrm {A} -\alpha )e^{-a\alpha }f(-x)=0.$

On trouverait de même

(65)

$(\mathrm {B} +\alpha )f(x+b)+(\mathrm {B} -\alpha )f(b-x)=0,$

ou

(66)

$(\mathrm {B} +\alpha )e^{b\alpha }f(x)+(\mathrm {B} -\alpha )e^{-b\alpha }f(-x)=0.$

Si l’on élimine $f(-x)$ entre les équations (64) et (66) on en tirera

$\left[(\mathrm {A} +\alpha )(\mathrm {B} -\alpha )e^{(a-b)\alpha }-(\mathrm {A} -\alpha )(\mathrm {B} +\alpha )e^{(b-a)\alpha }\right]f(x)=0,$