Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/268

Enfin, comme on tire de l’équation (46)

${\frac {1}{2}}\left(e^{\frac {\alpha t}{m}}+e^{-{\frac {\alpha t}{m}}}\right)f(x)=\operatorname {f} (t,x)-\operatorname {f} (t,-x),$

$\operatorname {f} (t,x)$ désignant la fonction $e^{\theta mx}\varphi (t),$ on en conclura évidemment, en posant $t=0,$

$f(x)=\operatorname {f} (0,x)-\operatorname {f} (0,-x),$

et par suite,

(51)

$f(x)=-f(-x).$

Les équations (50) et (51) suffisent pour prolonger la fonction $f(x)$ au delà des limites $x=0,$ $x=a.$

Second probléme. Intégrer l’équation

(52)

${\frac {du}{dt}}-m^{2}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+ru=0,\qquad {\text{ou}}\qquad \theta -m^{2}\alpha ^{2}+r=0,$

de manière que l’on ait

pour $\qquad t=0,$            $u=f(x),$

$f(x)$ étant connue entre les limites $x=a,$ $x=b,$ et que l’on ait aussi

$\left.{\begin{array}{lll}{\text{pour }}x=a,&{\cfrac {du}{dx}}+\mathrm {A} u=0,{\text{ ou}}&(\mathrm {A} +\alpha )u=0\\{\text{pour }}x=b,&{\cfrac {du}{dx}}+\mathrm {B} u=0,{\text{ ou}}&(\mathrm {B} +\alpha )u=0\end{array}}\right\}{\text{quel que soit }}t.$

Solution. On trouvera, en posant $\Theta ={\frac {\sqrt {\theta +r}}{m}},$

(53)

${\begin{aligned}u=&e^{(m^{2}\alpha ^{2}-r)t}f(x)\\=&e^{x\Theta }\varphi (t)+e^{-x\Theta }\chi (t),\end{aligned}}$

et les conditions prescrites donneront

(54)

$\left\{{\begin{aligned}(\mathrm {A} +\Theta )e^{a\Theta }\varphi (t)&+(\mathrm {A} -\Theta )e^{-a\Theta }\chi (t)=0,\\(\mathrm {B} +\Theta )e^{b\Theta }\varphi (t)&+(\mathrm {B} -\Theta )e^{-b\Theta }\ \chi (t)=0.\end{aligned}}\right.$