Enfin, comme on tire de l’équation (46)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(e^{\frac {\alpha t}{m}}+e^{-{\frac {\alpha t}{m}}}\right)f(x)=\operatorname {f} (t,x)-\operatorname {f} (t,-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0eb1ff79b2407b9755f9ef5ae971eefce96d212)
désignant la fonction
on en conclura évidemment, en posant ![{\displaystyle t=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55ff4c2b109c38fe7038da6238ae875f4d37e643)
![{\displaystyle f(x)=\operatorname {f} (0,x)-\operatorname {f} (0,-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e31e50cf4a39884cf5b1ceca997be26c7e2e6e)
et par suite,
(51)
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Les équations (50) et (51) suffisent pour prolonger la fonction
au delà des limites
![{\displaystyle x=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e917ab4f4e8b2fa913a9ec28880e3ee4a5a00765)
Second probléme. Intégrer l’équation
(52)
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de manière que l’on ait
pour
![{\displaystyle u=f(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0c32a3d3303eed213e40413f74d40f596982465)
étant connue entre les limites
et que l’on ait aussi
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}{\text{pour }}x=a,&{\cfrac {du}{dx}}+\mathrm {A} u=0,{\text{ ou}}&(\mathrm {A} +\alpha )u=0\\{\text{pour }}x=b,&{\cfrac {du}{dx}}+\mathrm {B} u=0,{\text{ ou}}&(\mathrm {B} +\alpha )u=0\end{array}}\right\}{\text{quel que soit }}t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ee404466de807abbce322c1f585bb22c4f7051)
Solution. On trouvera, en posant
(53)
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et les conditions prescrites donneront
(54)
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