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et celle de $\mathrm {P} ,$ qui est toujours censée positive, par la formule

(42)

$\mathrm {P} =\pm \left[\operatorname {F} _{0}(x)-\operatorname {f} _{0}(x)\right]\left[\operatorname {F} _{1}(x,y)-\operatorname {f} _{1}(x,y)\right]{\text{etc}}\ldots .$

Nota. Les formules (36) et (40) peuvent être démontrées par la méthode qui a servi à établir les formules du même genre que j’ai données dans le dix-neuvième cahier du Journal de l’École polytechnique.

Ajoutons que la formule (40) subsistera encore, si l’on remplace

$\operatorname {f} _{0}(x),\qquad \operatorname {F} _{0}(x),\qquad \operatorname {f} _{1}(x,y),\qquad {\text{etc}}\ldots \operatorname {f} _{0}(\mathrm {M} ),\qquad {\text{etc}}\ldots$

par

$\operatorname {f} _{0}(x,y,z\ldots ),\quad \operatorname {F} _{0}(x,y,z\ldots ),\quad \operatorname {f} _{1}(x,y,z\ldots ),\quad {\text{etc}}\ldots \operatorname {f} _{0}(\mathrm {M,N} \ldots ),\quad {\text{etc}}\ldots$

Faisons voir maintenant comment, à l’aide de certaines conditions données, on peut prolonger une fonction hors des limites entre lesquelles sa valeur était connue.

Premier problème. Intégrer l’équation

(43)

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-m^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0,\qquad {\text{ou}}\qquad \left(\alpha ^{2}-m^{2}\theta ^{2}\right)z=0,$

de manière que l’on ait

pour $\qquad t=0,\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}{\frac {dz}{dt}}=&0,\\z=&f(x).\end{aligned}}\right.$

Supposons d’ailleurs la fonction initiale $f(x),$ connue seulement entre les limites $0,\,a.$ Mais ajoutons la condition que l’on ait

$\left.{\begin{aligned}{\text{pour}}\qquad x=&0,\\{\text{et pour}}\qquad x=&a,\end{aligned}}\right\}\qquad z=0,\qquad {\text{quel que soit }}t.$

Solution. On trouvera