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${\begin{alignedat}{4}\operatorname {f} (x,y)=&0,\qquad &x=&a,\qquad &{\text{ou}}\qquad &\operatorname {f} _{0}(x)=&0,\\\operatorname {F} (x,y)=&0,&x=&b,&{\text{ou}}\qquad &\operatorname {F} _{0}(x)=&0,\end{alignedat}}$

et constamment nulle hors de ces limites.

Solution. Il suffira de prendre

(36)

$\varphi (x,y)=$

$\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{2}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}e^{\beta \left[n\operatorname {F} (x,y)+(1-n)\operatorname {f} (x,y)\right]\mathrm {i} }e^{\alpha \left[m\operatorname {F} _{0}(x)+(1-m)\operatorname {f} _{0}(x)\right]\mathrm {i} }$

$\times f(\mathrm {M,N} )\mathrm {P} dm\,dn\,d\alpha \,d\beta ,$

les valeurs de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ étant déterminées par les équations

(37)

$\left\{{\begin{aligned}&n\operatorname {F} (\mathrm {M,N} )+(1-n)\operatorname {f} (\mathrm {M,N} )=0,\\&m\operatorname {F} _{0}(\mathrm {M} )+n\operatorname {f} _{0}(\mathrm {M} )=0,\end{aligned}}\right.$

et la valeur de $\mathrm {P} ,$ étant positive et donnée par la formule

(38)

$\mathrm {P} =\pm \left[\operatorname {F} _{0}(x)-\operatorname {f} _{0}(x)\right]\left[\operatorname {F} (x,y)-\operatorname {f} (x,y)\right].$

Cinquième problème. Trouver une fonction $\varphi (x,y,z\ldots )$ qui soit constamment égale à $f(x,y,z\ldots )$ entre les limites déterminées par les équations

(39)

$\left\{{\begin{alignedat}{4}\operatorname {f} _{0}(x)=&0,&\operatorname {f} _{1}(x,y)=&0,&\operatorname {f} _{2}(x,y,z)=&0,&{\text{etc.}},\\\operatorname {F} _{0}(x)=&0,\qquad &\operatorname {F} _{1}(x,y)=&0,\qquad &\operatorname {F} _{2}(x,y,z)=&0,\qquad &{\text{etc.}},\end{alignedat}}\right.$

et constamment nulle hors de ces limites.

Solution. Il suffira de prendre ($n$ étant le nombre des variables $x,y\ldots$)

(40)

$\varphi (x,y,z\ldots )=$

$\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ldots \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\ldots e^{\alpha \left[\mu \operatorname {F} _{0}(x)+(1-\mu )\operatorname {f} _{0}(x)\right]\mathrm {i} }e^{\beta \left[\nu \operatorname {F} _{1}(x,y)+(1-\nu )\operatorname {f} _{1}(x,y)\right]\mathrm {i} }$

$\ldots f(\mathrm {M,N} \ldots )\mathrm {P} d\mu \,d\nu \,d\alpha \,d\beta \ldots$

les valeurs de $\mathrm {M,N} \ldots$ étant déterminées par les équations

(41)

$\left\{{\begin{aligned}\mu \operatorname {F} _{0}(\mathrm {M} )\quad &+(1-\mu )\operatorname {f} _{0}(\mathrm {M} )=0,\\\nu \operatorname {F} _{1}(\mathrm {M,N} )&+(1-\nu )\operatorname {f} _{1}(\mathrm {M,N} )=0,\\{\text{etc.}},\ \ \qquad &\end{aligned}}\right.$