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${\begin{aligned}\int _{0}^{a}f_{0}(x)\sin {\frac {n\pi x}{a}}dx=&c_{n}\int _{0}^{a}\left(\sin {\frac {n\pi x}{a}}\right)^{2}dx\\=&c_{n}\int _{0}^{a}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos {\frac {2n\pi x}{a}}\right)dx\\=&{\frac {a}{2}}c_{n}.\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}c_{n}&={\frac {2}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {n\pi x}{a}}f_{0}(x)dx\\&={\frac {2}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}\mathrm {f} (\mu )d\mu .\end{aligned}}$

En général, lorsqu'à l’aide des conditions prescrites on aura prolongé les fonctions initiales hors des limites entre lesquelles leurs valeurs étaient connues, les valeurs des fonctions ainsi prolongées se trouveront représentées par des expressions différentes, suivant qu'elles correspondront à tels ou tels systèmes de valeurs de $x,y,z\ldots .$ Si, pour fixer les idées, $x,y,z\ldots$ désignent des coordonnées rectangulaires, une fonction initiale de la forme $f_{0}(x)$ se trouvera successivement représentée par des expressions diverses, suivant que le point correspondant à l’abscisse $x$ appartiendra à telle ou telle portion de l’axe des $x\,;$ une fonction initiale de la forme $f_{0}(x,y)$ se trouvera représentée par des expressions diverses, suivant que le point $(x,y)$ se trouvera compris dans telle ou telle portion du plan des $x,y\,;$ enfin, une fonction initiale de la forme $f_{0}(x,y,z)$ sera représentée par des expressions diverses, selon que le point $(x,y,z)$ appartiendra à tel pu tel volume compris dans telle ou telle enveloppe extérieure; etc…. Cela posé, pour obtenir les expressions générales de

$f_{0}(x),\qquad f_{0}(x,y),\qquad f_{0}(x,y,z),\qquad {\text{etc}}\ldots$