Observons maintenant que, si l’on désigne par
un nombre très-petit, on aura (
étant un nombre entier quelconque)
(28)
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![{\displaystyle =\sin {\frac {n\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}\int _{{\frac {n\pi }{a}}-\varepsilon }^{{\frac {n\pi }{a}}+\varepsilon }{\frac {1-\eta }{(1-\eta )^{2}+(2a\alpha -2n\pi )^{2}}}d\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dc94cae565f316df4495c141f778258b00afec)
Si maintenant on fait
le second membre de l’équation (28) deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{2a}}\sin {\frac {n\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}\int _{-{\frac {2a\varepsilon }{1-\eta }}}^{+{\frac {2a\varepsilon }{1-\eta }}}{\frac {d\beta }{1+\beta ^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/316a4b1bf107a6dcd888acb6d4331f941924b052)
et se réduira, pour
à
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2a}}\sin {\frac {n\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51acfe6c8eecb02df3850a9a36a23fe98f2df0bb)
Cela posé, il est aisé de voir qu'on tirera de la formule (27)
(29)
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On peut vérifier directement la formule (29). En effet, si l’on pose
(30)
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on en conclura, en multipliant les deux membres par
![{\displaystyle \sin {\frac {n\pi x}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/898dd409120f1eba372ff8017e44a616f7190ee1)
puis intégrant entre les limites
![{\displaystyle x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd9ee1cb067c03634dd0eb7806a1fd412d3b887)