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Observons maintenant que, si l’on désigne par $\varepsilon$ un nombre très-petit, on aura ($n$ étant un nombre entier quelconque)

(28)

$\int _{{\frac {n\pi }{a}}-\varepsilon }^{{\frac {n\pi }{a}}+\varepsilon }{\frac {1-\eta }{(1-\eta \cos 2a\alpha )^{2}+(\eta \sin 2a\alpha )^{2}}}\sin \alpha x\sin \alpha \mu d\alpha$

$=\sin {\frac {n\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}\int _{{\frac {n\pi }{a}}-\varepsilon }^{{\frac {n\pi }{a}}+\varepsilon }{\frac {1-\eta }{(1-\eta )^{2}+(2a\alpha -2n\pi )^{2}}}d\alpha .$

Si maintenant on fait $a\alpha =n\pi +{\frac {1}{2}}(1-\eta )\beta ,$ le second membre de l’équation (28) deviendra

${\frac {1}{2a}}\sin {\frac {n\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}\int _{-{\frac {2a\varepsilon }{1-\eta }}}^{+{\frac {2a\varepsilon }{1-\eta }}}{\frac {d\beta }{1+\beta ^{2}}},$

et se réduira, pour $\eta =1,$ à

${\frac {\pi }{2a}}\sin {\frac {n\pi x}{a}}\sin {\frac {n\pi \mu }{a}}.$

Cela posé, il est aisé de voir qu'on tirera de la formule (27)

(29)

$f_{0}(x)={\frac {2}{a}}\left\{{\begin{aligned}&\sin {\frac {\pi x}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {\pi \mu }{a}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \\&+\sin {\frac {2\pi x}{a}}\int _{0}^{a}\sin {\frac {2\pi \mu }{a}}\mathrm {f} (\mu )d\mu \\&+{\text{etc.}}\end{aligned}}\right\}$

On peut vérifier directement la formule (29). En effet, si l’on pose

(30)

$f_{0}(x)=c_{0}+c_{1}\sin {\frac {\pi x}{a}}+c_{2}\sin {\frac {2\pi x}{a}}+\ldots +c_{n}\sin {\frac {n\pi x}{a}}+{\text{etc.}},$

on en conclura, en multipliant les deux membres par

$\sin {\frac {n\pi x}{a}},$

puis intégrant entre les limites $x=0,$ $x=a,$