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longer ensuite ces fonctions hors des limites primitives, en recourant, pour $y$ parvenir, aux conditions supplémentaires. Ainsi, par exemple, si, dans le problème des cordes vibrantes, on représente par

$z=f_{0}(x)$

la valeur initiale de $z,$ on trouvera, pour l’intégrale de

(8)

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-m^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0,$

déterminée de manière que l’on ait à la fois

(9)

$t=0,\qquad z=f_{0}(x),\qquad {\frac {dz}{dt}}=0,$

on trouvera, dis-je,

(10)

$z={\frac {1}{2}}\left[f_{0}\left(x+{\frac {t}{m}}\right)+f_{0}\left(x-{\frac {t}{m}}\right)\right].$

Or, la fonction $f_{0}(x),$ qui détermine la forme initiale de la corde, est censée connue seulement entre les limites

(11)

$x=0,\qquad x=a\,;$

mais, pour la prolonger hors de ces limites, il suffit d’admettre que les valeurs de $z$ correspondantes aux valeurs précédentes de $x$ sont toujours nulles, c’est-à-dire que l’on a, quel que soit $t,$

${\begin{aligned}f_{0}\left(\quad {\frac {t}{m}}\quad \right)&+f_{0}\left(\quad -{\frac {t}{m}}\right)=0,\\f_{0}\left(a+{\frac {t}{m}}\right)&+f_{0}\left(a-{\frac {t}{m}}\right)=0,\end{aligned}}$

et par conséquent, quel que soit $x,$

(12)

$f_{0}(x)+f_{0}(-x)=0,\qquad f_{0}(a+x)+f_{0}(a-x)=0.$

Si, dans la seconde des équations (12), on remplace $x$ par $x+a,$ on en tirera