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les fonctions arbitraires se trouveront alors déterminées par les équations (19) du paragraphe précédent et ne pourront l’être que d’une seule manière, si les conditions (5) exigent seulement que l’on ait, pour $t=t_{0},$

(6)

$u=f_{0}(x,y\ldots ),\quad {\frac {du}{dt}}=f_{1}(x,y\ldots ),\ldots \quad {\frac {d^{m-1}u}{dt^{m-1}}}=f_{m-1}(x,y\ldots ).$

Toutefois, cette dernière conclusion suppose que

(7)

$f_{0}(x,y\ldots ),\qquad f_{1}(x,y\ldots ),\ldots \qquad f_{m-1}(x,y\ldots ),$

sont connues pour toutes les valeurs possibles de $x,y,\ldots .$ Or, il peut arriver, comme dans le problème des cordes vibrantes, que les fonctions (6) soient données à priori seulement pour certaines valeurs de $x,y,z\ldots$ comprises entre certaines limites, et doivent être prolongées hors de ces limites, à l’aide de nouvelles conditions. Par exemple, dans le cas où $x,y,z\ldots$ représentent des coordonnées, il peut arriver que des fonctions de la forme

$f_{0}(x),\qquad f_{0}(x,y),\qquad f_{0}(x,y,z)$

soient connues pour tous les points compris dans une lon-gueur, dans une surface, ou dans un volume donné. Alors on pourra représenter la variable principale par des sommes d’exponentielles, respectivement multipliées par des constantes arbitraires, et il ne restera plus qu'à déterminer ces constantes de manière qu'entre les limites données les fonctions (6) prennent les valeurs qu'elles doivent avoir. C'est ce qui arrivera, par exemple, dans le problème des cordes vibrantes, si l’on fixe la valeur de $z$ par le moyen de l’équation (90) du cinquième paragraphe. Mais on pourrait aussi résoudre les questions proposées en exprimant la variable principale à l’aide des fonctions initiales, sauf à pro-