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Alors l’équation (100) deviendra

(102)

$u={\frac {\left[e^{(h-z)\lambda \mathrm {i} }+e^{-(h-z)\lambda \mathrm {i} }\right]\left[e^{\mu t\mathrm {i} }-e^{-\mu t\mathrm {i} }\right]}{2\mu \mathrm {i} \left(e^{h\lambda \mathrm {i} }+e^{-h\lambda \mathrm {i} }\right)}}f(x,y).$

Telle est effectivement la valeur de $u,$ trouvée dans la théorie des ondes.

§ 6. Sur la détermination des fonctions arbitraires que comportent des intégrales générales des équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants.

Conservons les notations du paragraphe précédent ; soit

(1)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta ).u=f(x,y,z\ldots t)$

une équation linéaire donnée, de l’ordre $m$ par rapport à $t,$ et désignons par

(2)

$\varphi _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ),\qquad \varphi _{1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ),\ldots \qquad \varphi _{m-1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$

les $m$ valeurs de $\theta ,$ déduites de la formule

(3)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta )=0,$

l’intégrale générale de l’équation (1) sera

(4)

${\begin{aligned}u=e^{t\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots &+e^{t\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{m-1}(x,y\ldots )\\&+{\frac {f(x,y,z\ldots t)}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta )}}\,;\end{aligned}}$

$\psi _{0}(x,y,z\ldots ),$ etc… $\psi _{m-1}(x,y,z\ldots )$ désignant les fonctions arbitraires.

Supposons maintenant que l’on doive avoir

(5)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}{\text{pour }}t=&t_{0},&\operatorname {F} _{0}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta ).u=&f_{0}(x,y,z\ldots ),\\{\text{pour }}t=&t_{1},&\operatorname {F} _{1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots \theta ).u=&f_{1}(x,y,z\ldots ),\\{\text{etc}}\ldots \quad &\\{\text{pour }}t=&t_{m-1},\qquad &\operatorname {F} _{m-1}(\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ).u=&f_{m-1}(x,y,z\ldots ),\end{alignedat}}\right.$