(91)
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![{\displaystyle =\mathrm {A} _{0}+\mathrm {A} _{1}\sin {\frac {\pi x}{a}}+\mathrm {A} _{2}\sin {\frac {2\pi x}{a}}+{\text{etc}}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/480b83a42f0606479a9fa789a1e6f57e7378f344)
pour toutes les valeurs de
comprises entre
et ![{\displaystyle x=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e917ab4f4e8b2fa913a9ec28880e3ee4a5a00765)
Troisième exemple. Intégrer l’équation
(92)
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de manière que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}{\text{pour }}z=h,&&{\cfrac {du}{dz}}=0,\\{\text{pour }}z=0,&&g{\cfrac {du}{dz}}-{\cfrac {d^{2}u}{dt^{2}}}=0,\\{\text{pour }}z=0&{\text{et}}\quad t=0,\qquad \qquad &u=0\quad {\text{et}}\quad {\cfrac {du}{dt}}=f(x,y).\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8118b106d2895c42f2ff5cb18d09aca2fd7a6d88)
Solution. On trouvera, en mettant
en évidence,
(93)
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(94)
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Soient
(95)
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l’équation (94) deviendra
(96)
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et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{0}(x,y)=&e^{-h\mathrm {i} {\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}\left[\varpi _{0}(x,y)+\varpi _{1}(x,y)\right],\\\psi _{1}(x,y)=&e^{h\mathrm {i} {\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}\ \ \left[\varpi _{0}(x,y)-\varpi _{1}(x,y)\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22eee344b73dd5067b7b30a4c3302489f8e55e3a)
Or, on tire de l’équation (96),
étant égal au pro-