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que de plus $z$ doive s’évanouir aux deux limites, quel que soit $t\,;$ on aura

${\begin{aligned}&z=e^{m\theta x}\psi _{0}(t)+e^{-m\theta x}\psi _{1}(t),\\&0=\psi _{0}(t)+\psi _{1}(t),\\&0=e^{m\theta a}\psi _{0}(t)+e^{-m\theta a}\psi _{1}(t),\\&\left(e^{m\theta a}-e^{-m\theta a}\right)\psi _{0}(t)=0.\end{aligned}}$

On satisfait à la dernière équation, en posant

$m\theta a=\pm n\pi \mathrm {i} ,$

$n$ étant un entier quelconque. Donc, par suite, on aura

$\psi _{0}(t)=\mathbf {S} \left(c_{0}e^{\frac {nt\pi \mathrm {i} }{ma}}+c_{1}e^{\frac {-nt\pi \mathrm {i} }{ma}}\right)=-\psi _{1}(t),$

$z=\left(e^{m\theta x}-e^{-m\theta x}\right)\mathbf {S} \left(c_{0}e^{\frac {nt\pi \mathrm {i} }{ma}}+c_{1}e^{\frac {-nt\pi \mathrm {i} }{ma}}\right)$

$=\mathbf {S} \left[c_{0}\left(e^{\frac {n(t+mx)\pi \mathrm {i} }{ma}}-e^{\frac {n(t-mx)\pi \mathrm {i} }{ma}}\right)-c_{1}\left(e^{\frac {-n(t+mx)\pi \mathrm {i} }{ma}}-e^{\frac {-n(t-mx)\pi \mathrm {i} }{ma}}\right)\right],$

et, pour $t=0,$

${\frac {dz}{dt}}=\mathbf {S} \left[{\frac {n\pi \mathrm {i} }{ma}}\left(e^{\frac {nx\pi \mathrm {i} }{a}}-e^{\frac {-nx\pi \mathrm {i} }{a}}\right)(c_{0}-c_{1})\right].$

Pour que ${\frac {dz}{dt}}$ s’évanouisse alors quel que soit $x,$ il faudra que l’on ait $c_{1}=c_{0}.$ Donc, par suite

(90)

$z=\mathbf {S} \left[c\left(e^{\frac {n\pi t\mathrm {i} }{ma}}+e^{\frac {-n\pi t\mathrm {i} }{ma}}\right)\left(e^{\frac {n\pi x\mathrm {i} }{a}}-e^{\frac {-n\pi x\mathrm {i} }{a}}\right)\right]$

$=\mathbf {S} \left[\mathrm {A} \cos \left({\frac {n\pi t}{ma}}\right)\sin \left({\frac {n\pi x}{a}}\right)\right],$

$\mathrm {A}$ étant égal à $4c\mathrm {i}$.

Il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients $\mathrm {A} ,$ de manière que l’on ait pour $t=0,$ $z=f(x),$ c’est-à-dire,